LIVRE PREMIER
Remarque 1. N n’est pas toujours nécessaire de pousser les opérations jusqu’à un terme qui présente ce caractère. En effet,
si l’on trouve x
, M „ on trouve— a;
, mais avec un coefficient autre que — , ou si
suivi d’un reste autre que zéro, on peut conclure que l’opération se prolongera indéfiniment; on conclura la même chose si le terme 10 ne se présente pas au quotient.
Car dans chacun de ces cas on trouvera des exposants moindres que a — /?.
La différence a — /9 est o; or l’exposant de x dans le
1 er ex.
x^-^ax — à
x — a x second terme du quotient
est — 1 qui est <^o.
Donc l’opération ne se terminera pas.
Le second terme du quo-
2e ex. xi-\-'2a'2x'2-\-a?x
H -axi-\-aix
3e ex. a;4— )—2 a2ir2+a3£c — aa3-f-a2ar2
x2 — ax+a5 . M * — a . ,
—5— tient est —a ^ ; mais le
x^-f-ax P
reste n’est pas nul.
ac2H -ax-V-a1 Le second terme du quox2 — ax tient contient x‘t~~^', mais
le coefficient n’est pas
Remarque 2. Un terme Axm n’est jamais divisible par un polynôme Car, quel que soit le quotient,
si on le multiplie par le diviseur qui est un polynôme, on obtient un produit dont le dernier et le premier termes ne se réduisent point (p. 9) ; ce produit a donc au moins deux termes et ne saurait être identique avec le dividende Axm.
* PROPOSITION XXI. — THÉORÈME
Etant donnés deux polynômes , dont l’un est le produit de l’autre par un troisième polynôme , si , sans ordonner, on divise le premier par le second, et qu’ après avoir trouvé plusieurs ter-
ALGÈBRE
mes an quotient , on ordonne le reste et le diviseur pour continuer l’opération, la division se terminera et le quotient total sera exact.
Soit A le dividende , B le diviseur, Q le polynôme qui donne A=RQ. Supposons qu’après avoir divisé sans ordonner, on ait trouvé un quotient Q' et un reste R ; on aura A = BQ'-)-R , ou BQ — BQ H- B d’ou R = B (Q — Q'). Donc R est le produit de B par le polynôme Q— Q'; par conséquent, si l’on divise R par B (p. 18), on aura au quotient Q — Q', et le quotient total sera Q'-l-Q — Q' ou Q, c’est-à-dire qu’il sera exact.
PROPOSITION XXII. — THÉORÈME
La différence des puissances ni de deux quantités x, si, est divisible par la différence de ces quantités.
11 s’agit de prouver que x.m— am est divisible par x—a.
xm — a"1
En effet , si l’on fait la division , on
m — i ni
ax — a
in— i
trouve que le premier terme du quo-
tient est xm— 1
et le reste
„xm=lam
ou
a (xm— am— 4).
Par là on voit que si x™—a?'— 1 était divisible par x—a dans quel cas a(xm— * — am— 4) le serait, le binôme xm — «m le serait. Or, 1°, x2— 1 — u2*1 ou x — a est évidemment divisible par x — a; donc x2 — a2 l’est; 2° x2 — a2 ou x3— 1 — a3—1 l’étant, x3 — a3 le sera; 3° x3 — a3 ou x4— 1 — a4—* l’étant, x4 — a4 le sera , et ainsi de suite. Donc xm — am est divisible par x— a.
Corollaire. En continuant la division, on trouve pour les premiers termes du quotient
xm~* -\-axm - 3H-a2x“- 3-+-<i*xm-4 +
En général , tous les coefficients du quotient sont égaux à+1 ; les exposants de x vont en diminuant d’une unité, et ceux de a vont en augmentant d’une unité, de sorte que le dernier terme est x°am—i ou a“— 1 , et le quotient peut être représenté par xœ-1+rtXm-,H-a2x“— 3-4-...-t-«nx,n-n-1-t-a,'+,x,n-n-2-h...-(-fl,n-1.
Car en multipliant ce polynôme par le diviseur x — a, on retrouve le dividende x10 —
