LIVRE III
pour quep/^r soit égal à 1+a, « étant aussi petit qu’on veut. Soient ^(l-f-a)", <73(l+a)'It-t-‘ deux moyens consécutifs -entre q3 et q\ par ex.; leur différence est (l+<*)n,J
— :?3(l+a)ni j t+a — lj zz(jr3(l+a)m.a. Mais nos deux moyens sont insérés entre q3 et q'< ; le dernier. ^r3(l— ce)"*-*-' est donc tout au plus égal à q* , et <jr3(l+tt)m est <^q", donc la différence en question est<^<74.a, et comme a peut être rendu aussi petit qu’on véüt, cette différence est dans le même cas. Ainsi on peut supposer que les termes de la progression géométrique augmentent par degrés infiniment petits, de sorte que tout nombre, de 1 à + oo , y sera compris et aura un logarithme.
Pour former les logarithmes des nombres plus petits que 1 , on continuera la progression arithmétique vers — oo , et la progression géométrique vers zéro.
Les propriétés arithmétiques des logarithmes pouvant toutes se déduire de celle qui se rapporte à la multiplication , c’est celleci qu’on va prouver , en prenant les progressions
— — mr...
• r. 0. r. 2r. 3r. . ,.nr. .. .
: qn: ,
Soient a, b, deux nombres pris dans la seconde progression; je dis que log. ab = log. a + log. b.
En effet , il y a deux cas :
1° a et b sont tous deux plus grands , ou tous deux plus petits que 1 ; soit a<^b.
Prenons un terme c tel que de b à c, il y ait autant de termes que de 1 à a; dans la progession dont 1 et c seraient les extrêmes a, b, étant également distants des extrêmes, on a (p. 14, r.) .
cx\~ab ou c—ab.
Mais 0 , log. a, log. b , log. c étant les termes correspondants pris dans la progression arithmétique, on £eut aussi regarder 0 et log. c comme les extrêmes, et par une raison semblable • (p. 12), on a O + log. c=log. a+log. b, ou log. (fib) = log. a + log. b.
ALGEBRE.
2° a est 1 , b 1 ; entre a et b on prendra un terme c tel que de c à b il y ait autant de termes que de a à 1; ici a et 6 sont les extrêmes , 1 et c sont à «gales distances de ces extrêmes , et l’on aura d’un côté
1 Xc = ab ou c — ab
qt log. c ou log. ( ab ) = log. a -f- log. b.
Remarque 2. Pour avoir les logarithmes des nombres à moins
de - près, il suffira d’insérer entre deux termes consécutifs de
chaque progression assez de moyens pour que dans la progression arithmétique formée par les anciens termes et les moyens ,
la raison soit — . Car soit a un nombre; b , b‘ deux moyens géo-
métriques consécutifs qui comprennent a.
Si log. b' — log. à fortiori , log. « — log. b sera
1 P ainsi à moins de - près, le log. b pourra être pris pour log. a.
Dans les logarithmes vulgaires les progressions qui forment le système sont
Pour avoir les logarithmes des nombres entiers à moins de il faut insérer assez 'de moyens pour que la raison de la
progression arithmétique soit — ; or , si l’on insère m moyens
; donc il
entre 0 et 1 , ou entre 1 et 2 y etc. , la raison est faut que
m-f-1 ^ 10" ou m ~ 10' — 1. '
En prenant m — 10" — 1, la raison de la progression des
moyens géométriques serait l/lO ou ViO.
