LIVRE III
La longueur de ces calculs peul être réduite : car d’abord on peut prendre m-f-l = 2' , pourvu que 2‘ 10?, ce qui exige que
i soit ^ 24*; on extrairait donc 24 fois de suite la racine carrée
de 10, et l’on aurait, pour la raison de la progression géométrique,
„ ^ 1 1 erreur est < — 5.
En second lieu il suffirait de former les moyens compris entre 1 et 10; car s’il s’agit par exemple d’avoir le logarithme de 56927, on a
et log. 56927 = 4 + log. 5,6927 .
Ainsi on prendrait, parmi les moyens insérés entre 1 et 10 celui qui est immédiatement inférieur à 5,6927 ; son logarithme , c’est-à-dire le moyen arithmétique correspondant , augmenté de 4, sera log. 56927.
La question revient donc à former les moyens géométriques entre 1 et 10, et de ces moyens il y en a déjà 24 qui sont con-
nus ; car pour arriver à on a dû chercher \/ 10 , qui est le
terme du milieu entre 1 et 10, puis qui est celui du milieu
entre 1 et l^TÔ, etc.
Actuellement pour abréger les calculs, on considérerait I^IO comme multiplicande; on ferait les produits de ce nombre par 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, et toutes les multiplications à faire se réduiraient à des additions.
Remarque 3. Lorsque l’on considère les logarithmes comme
AIX.kRDF..
des exposants, les nombres négatifs sc présentent d’eux-mêmes comme logarithmes des fractions. Il n’en est pas de même lorsqu’on part des progressions. Mais dans ce cas on peut encore regarder les nombres négatifs comme des symboles de convention, et prouver que le logarithme d’un produit est égal au résultat qu’on obtient en écrivant à la suite les uns des autres les logarithmes des facteurs avec leurs signes respectifs, et réduisant, c’est-à-dire en les ajoutant algébriquement. Même remarque pour la division.
Remarque 4. On demande les conditions que doivent remplir deux progressions, l’une arithmétique, l’autre géométrique, pour qu’elles puissent former un système de logarithmes.
Soit la progression géométrique
elle est censée renfermer tous les nombres de 0 à -f- oc .
Prenons-y les termes a, h, h , s, tels que as—hk. Les logarithmes étant en progression arithmétique, ceux des quatre nombres, a, h, h, s, seront en équidifférence , parce que de a à h il y a autant de termes que de k à s. Donc
log. a-f-log. s — log. A-flog. k.
Ainsi s = — — et log. s = log. A— |— log. k — log. a.
Actuellement si l’on veut que s soit le produit de h par k , il faut supposer a— 1 , ce qui est permis, puisque la progression géométrique renferme tous les nombres de 0 à + œ .
Si de plus log. Aloit être égal à log. A-f-log. A, il faut supposer log. a ou log. 1=0.
Ainsi pour que les deux progressions puissent servir, il faut et il suffit que le logarithme de l’unité soit zéro.
Corollaire général de la théorie des logarithmes.
1° Soit à calculer a; =
VZ
(«’ — 6‘) Va’' — 5a'b'-{-bi
LIVBB III. 5lf>
Appelons N le numérateur , D le dénominateur , on aura • log. x = log. N — log. D.
Or log. N = 1 [jog. («— f— 6)"— f— log. V' (a3— 2aa5+53)^]
= - [ » log. 0+i)+î log. (a3— 2a’6+53) |
Pour calculer log. (a3— 2rt’H-&3) , on pose
Représentons - par a; il vient log. a = log. b — log. a
el log-^log. ^ = 3 log.«,
soit /? le nombre qui répond à 3 log. a ; (1 sera égal à -, et l’on
aura «3 2a’&+&3 = a3 (1— 2a +/?).
Donc log. (a3— 2a’6+53) = 3 log. a+log. (1—2 a+/9).
et log. N = — m
n log. («+&)+ -r [3 log. a+log. (1— 2a+/?)]
Pour le dénominateur, on a
log. D -| log. (a-H)-f-log. (a— 6)+ î l0g. ai ^1
On calcule log. — = log. 5+4 log. b— 2 log. «. Soit d le
nombre correspondant, ou
De même soit $•=— , de sorte que log. log. 5—4 log. a, il vient
log. D = i j log. («+)+log. jog. a+log.(l d+^)]
On aura avec cela facilement le log. x, et par suite x.
ALGEBRE.
2° Résoudre par le moyen des logarithmes l’équation a1 = b.
Prenant les logarithmes , on a
• « log. ^
x log. a — log. b doù
3° L’équatipn ab* =c. Posons b' —y; d’où a? — c ;
' par log. x log. b =log. y, et y log. a = log. c ,
d’où y =
log. a log. b
Soit a = 6, b = 7,c = 642928.
On trouve
log. c = 5,8081623 limite de l’erreur (0,1)7
log. a = 0,77815125 . | (0,1)8 = 5(0,1)».
Donc y < 0 778isim — 778151245
Prenons le logarithme de la première limite de y, en plus, celui dé la seconde en moins; il vient
log. y <9, 76403885-8, 891°6395 = 0, 87297490. (1)
Dans les deux log. e-bfh <(0; ainsi dans chacun la limite de l’erreur est 5(0, l)8
log. y > 9,76403875— 8,89106406 = 0,87297469
Dans le premier logarithme, e+3’ est <(0; dans le second , e-J-# <((0,1)8; donc dans celui-ei l’erreur est <(6(0,1)8.
Pour log. 6, on a 0,845098045 en plus, etc.
• 0,845098035 en moins.
Ainsi x 845098035 et > 845098045’
La division donne pour limites de x,
1,0329866 et 1,0329861.
Les log. donnent 1,0329869 et 1,0329860.
