LIVRE III
Ainsi la division donne des résultats plus resserrés.
Les deux opérations s’accordent à donner x — 1,032986 à (0,1)6, en moins.
4° Soit l’équation
Aan'*-f-A,«("— ')'+A,a(m— V-+- +A,„-1a<+A„, = 0.
On y fera a' — x‘,
d’où — , a(m~ ')* — x,m— ' , etc., et l’équation devient
Ax,ra+A1a?'ra-'+A1a:',”-H- +Am -’,x'-|Am = 0.
On suppose que m est entier positif; on verra bientôt comment on trouve les racines de cette équation, si les coefficients sont des nombres réels; soit x‘ = b, une racine. réelle positive; on aura a' ~ b , et de là on tirera .r. * .
On pose x’ — 5x-f-8 = y , on a 2? = 4 d’où y — 2 ,
et x1 — 5x-f-8 = 2 , d’où x = 2, x— 3.
6» L’équation a'-\-bx = c ; a, b, c, étant positifs, et a plus grand que 1.
On remarquera que si x croit, a'-\-bx , croit aussi. On fera donc successivement x=0, 1,2,3..., jusqu’à ce qu’on trouve deux nombres entiers n , n+l tels, que
a"-f-ôn<^c et nn-t*,+ô(n-f-l)^ c,
x sera )> n et n+1. On fera maintenant x = «-(-— , «-(- —
etc. , et l’on aura x à — près ; on le trouvera de même à Jqq> etc.,
près. Dans ces snbstitutions, on s’aidera des logarithmes pour calculer les valeurs de a'; ce calcul peut néanmoins offrir quelques difficultés.
7° Dans une progression géométrique (p. 15) on connaît u, s, a, trouver g et n. •
On a
d’où g xx
3«2 Aiclutnii.
Ensuite tic « = «g"-’ , on déduit
log. u — log. a-\-(n — 1) log. q y
or log. q = log. 0— «) — log. (s—u) ,
log. u -log. a log. «-log. a
donc n 1 — f— “ ~ log. (s — a) — log. (s—u) ’ ■
. log. u— log. a
et n — 1+ (i — a)— log. (s—u)'
on traitera à peu près de même les autres cas où n est inconnu.
8» Combien faut-il prendre de termes dans une progression géométrique décroissante, pour que la différence entre la somme des termes,* et la limite (p. 16) soit moindre qu’une grandeur
donnée a P
Cette différence est d’où
aq
prenant les logarithmes log. a+n log. g log. a-Hog.(l q)
n log. g log. a-+- log. (1 — g) — log. a.
Comme q < 1 , log. g est < 0 ; ainsi en divisant par log. g , on changera )> en et on aura
log. a+log- (1— g)~ log- a log. g
0 • f 9° Intérêts composés. Une somme a étant placée à r pour cent
par an, que vaudra cette somme augmentée de ses intérêts d’année en année , au bout de n années et m mois.
Un franc rapportant par an , vaut au bout d un an 1+
ainsi « francs , vaudront après un an a ^1+ Cette.somme
«augmentée ainsi déliés intérêts, portera intérêt l’année suivante; si on la représente parn' elle vaudra à la fin de la seconde
année n'^+JôÔ^ ou«(^+ïq^ ■ En continuant d’ajouter..
d’année en année les intérêts au capital pour faire porter intérêt au tout pendant les années suivantes, on trouvera, qu’au bout de n années, la somme a, augmentée de ses intérêts composés,
vaut a^l • Reste à savoir ce que cette somme vaut après
m mois: or V en 12 mois rapporte-—-; donc en 1 mois,
mr / r. \n
et en m mois ainsi l’intérêt de a^l-f~ J en m mois
on a
/. • r V mr
est al 1 -H jqq ) ■ Y200» aJoulant a cela la sompae même,
a{1+m) +“(i+ïü5) •ii»ou<,(1+{55) (’+iis)’'
c’est la valeur cherchée; on la représentera par
Cette formule donne lieu à quatre questions.
Problème i. Connaissant a, r, netm, trouver A. ,
log.A=log.o-4-nlog.(n-^-4-log.
Problème u. Connaissant A, r, n et m trouver a .
De (1) on tirera log. a.
Problème iii. Connaissant A, a et r, trouver le temps.
Le temps se compose de n années et m mois. Ainsi il est n et <^»+ 1. On a donc
A>ft(1 + Bô)” etA<a(1+îïïô
On peut donc poser A — ci -f- ),
t sera compris entre n et n -+• 1 , de sorte que la partie entière de t sera la valeur de n.
ai.
On aura
ALGEBRE.
; log* A — log. «.
l0g'(1+îMy
Connaissant n, on tirera de la formule (1) la valeur de log. ^1 + ; par suite on connaîtra 1 ■+- Jqq el il sera facile
d’avoir m. • '
Problème iv. Connaissant A, 1 , n et m , trouver r.
On pourra d!abord trouver pour r deux limites, au moyen des formules (2), qui donnent
loe
. A — log. a log. A . — log. a n ^ ra-f- 1
Supposons qu’on trouve par la r k et k‘. Dans la formule (1) on fera successivement r—k-\r 1 , k-\- 2, .... jusqu’à ce qu’on trouve 2 nombres consécutifs qui comprennent r. Or la formule (1) donne
n log.
+ log.( 1 +
^■55) = log. A -k*..
Tant qu’on mettra pour r une valeur trop petite , le premier membre de celte équation sera le second ; ce sera le contraire lorsqu’on mettra pour r une valeur trop. grande.
Soient donc l, 1-+- 1 , deux limites trouvées pour r. On essayera
/+ — , f-f- — , etc, ce qui fera connaître r à — près; on le
trouvera de même à y^j près, etc.
1 0“ Annuités. Une personne qui a emprunté une somme a , veut se libérer au moyen de n payements égaux effectués d'année en année, le premier une année après l'emprunt; quelle doit être la valeur de ces payements annuels ou annuités , l’intérêt étant de r pour cent P on a d’ailleurs égard aux intérêts composés.
Soit b la valeur inconnue del’annuité; pour rendre comparables les valeurs de plusieurs sommes d’argent payables à des époques différentes, il faut réduire ces sommes à la même époque; nous pouvons prendre ici la fin de la n' année.
