LIVRE III

La somme a vaut à celte époque a ( t -f-

r> mj ’

représentons

100 Parc’ celle expression devient ac".

L’annuité 6, payée à la fin de la première année, devant être rapportée à la fin de la nc, il faudra l’augmenter de ses intérêts composés pendent n — 1 années, de sorte qu’elle vaudra 6cn-'.

La seconde annuité b , payée à la fin de la deuxième année, vaudra au bout de la n‘ , bcn— *, etc.; l’avant-dernière annuité b, payée au bout de la n — Ie année, vaut après la n', bc, et la dernière vaut b. Ainsi les n annuités, rapportées à l’époque choisie, valent 6-|-6c-|-6ea+. . . . -\-bc°— ’-f-, lc"~ ' ,

ce qui forme une progression géométrique dont le premier terme est b, la raison c , le nombre des termes n; donc la somme fc(cn— 1)

sera

(p. 14), et devra être égale à ac"; d'où l’équation.

acn —

b(cn — 1)

et log. a -f-n log. c= log. b -f-log. (c" — 1) — log. (c— 1)

formule qui donne facilement log. b, ou log. a.

Si le taux est inconnu , on prend l’équation (3) sous la forme

ac ” — bc"~‘ — bc"—1 — ... — 6 = 0.

Cette équation est du degré n. .

Enfin , si n est inconnu , de (3) on tire

ac°(c — l)=6(c" — 1) ■

d’où

6 —c”[b — rtc-|-a]

et

log. 6 = n log. c + log. (a -(-6 — ac)

enfin

log. 6. — log. (a-|-6 — ac)

log.c

et pour que la question soit possible , il faudra que n soit entier positif.

ALGEBRE.