LIVRE IV

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porl à x, s’il n’entrc dans cette fonction que des exposants connus, indépendants de x , et qu’en même temps les puissances de x , en nombre fini, ne se trouvent combinées entre elles et avec les quantités indépendantes de x que par le moyen des quatre premières opérations arithmétiques.

Les fonctions dex qui ne sont pas dans ce cas sont appelées transcendants. Telles sont a', log. x , etc.

Parmi les fonctions algébriques de x , on appelle rationnelles

celles où x ne se trouve sous aucun radical; ainsi x'1 n’est pas

rationnel; car x^ — V x}.

• Parmi les fonctions algébriques, rationnelles de x, on appelle entières celles qui ne renferment x à aucun dénominateur :

x — 1 qui = — , n’est pas dans ce cas.

Mais les fonctions suivantes sont rationnelles et entières par rapport à x :

x^ 3 — x -|- ^ L x' — 5-r-f-Al/ — 1.

Pour abréger nous appellerons ces fonctions , des fonctions entières de x. Ordonnée par rapport A x, une pareille fonction prend la forme

Ar",+\1.r”-'+A,ï”-J-| +A,„.x-|-Ain,

mêlant entier positif, A, A,, A,,...Am, étant indépendants de x et de la forme — 1 (I. 2).

■Une fonction peut être algébrique, rationnelle et entière par rapport à plusieurs lettres, que nous appellerons lettres principales; ces sortes de fonctions seront nommées simplement fonctions entières.

Pfr fonction entière absolue nous entendrons une fonction d’une ou plusieurs lettres, ne renfermant aucun radical nulénotninaleur : telles sont

x’ — 2x-*f-3 , xyT-y — x-| - 1 ,

ALGÈBRE

au contraire de - x-\-yV\ — Ÿ — 1, qui est une fonction entière de x et y , sans être entière absolue ;

Fonction entière réelle est une fonction entière dont tous les

coefficients sont réels; comme i’ — x

I/2+ÎI/3 au contraire

x — — 3 n’est pas réelle.

A moins d’avis contraire, les caractéristiques/, F, etc. , désigneront dans ce livre des fonctions entières.

Définition 3. Si dans fx on remplace x par x-\-h, le coefficient de la première puissance de h dans le développement de /(x-f-A), est appelé la première dérivée de/r, et se désigne par * f'x ( fonction prime de x).

Par exemple , si fx = — 4r-|-3 ,

on a f[x- j-/i) — (x-\-hy — 4(x+A)-f-3

et, fx—'ix— 4.

La première dérivée de f'x, est appelée seconde dérivée de fx, et se désigne par f“x ; la première dérivée de f'x est appelée troisième dérivée de fx , et se désigne par/" 'x, etc. ; en général la nc dérivée de fx se désigne par fi°)x.

PROPOSITION I. — THÉORÈME

Pour former la première dérivée de fx , il suffit de multiplier chaque terme de fx par l’exposant de x dans ce terme, et de diminuer cet exposant d’une unité.

Soit fx = Ax"+A1.x™-'+ . . . 4-Am-nx"-+- . . . +

Am . ,x’-+-Am - ,x-f-Aœx°. •

Je dis qu’on aura .

f'x= mAzm-'.+(m— l)A1xm~H- . . . -f-nAm-„x'>-,-+- . . .

— ! — 2 A„, — ,x-|-Am