LIVRE l

En effet remplaçons x par x-\-h dans/# , et considérons le

terme général qui devient

Am— n(x-i-A)”= Am„(x"+no!n— .h-\- ...)•

Le terme affecté de la première puissance de h .est nAm — „xn— ‘A, et le coefficient de h y est nAm„x"—

Si l’on fait ici successivement n —m, m — 1, etc., on aura pour la première dérivée

mAr-'+^i- l)A,a:m— M- .. . H-nAm— „®n— ‘-+- ...

+2Àm — ,x-|— Am — , , ,

comme on l’a annoncé.

Exemple. Soit fx — Sx' — x3 — 7x— 8 , on a /'x = 2Qx3 — 3x* — 7.

Corollaire. Puisque f“x est la première dérivée de f‘x , on " déduira J“x de /'x d’après la même règle, et c’est encore d’a-' près cette règle que chaque dérivée se déduira de la précédente. Ainsi ayant toujours

fx — Axm-f- A,xm— 1 -f- +Al nx” + +

A,„ —3X3— )— Am, xa— |- Aœ— , x+Ara puis — l)A,xm— H-...4-ttAm— „x”— '+.... -+-

. 3A„,3Xa+2Am ax+Am, .

ensui te^ ‘x—ni(rn — l)Axm— a+(m — l)(m — 2)A,xm~1+ -f-

n(n — l)A„,„jfn- J-f- etc

+ 3.2.Am 3x — ) — 2.1 .Am a

On remarquera 1° que d’une dérivée à l’autre il se perd un terme; c’est le dernier. 2° Que devant chaque coefficient

A, A, Ara— „ il y a autant de facteurs décroissants d’une

unité, qu’il y a d’unités dans le rang de la dérivée.

Ainsi la dérivée de rang n ou d’ordre n sera

' Ax™— "+ (m — 1 )" 1 — ' . A ,x™ - '-f- +/in|-'.Am„

33o XlcIsime.

Remplaçant ici n par ni — 1, puis par/n, on aura successivement : /ln,-,)j=m,”-,l-'.AT + (m-1)“-' •—‘À,

/Ox — rnml-'.A

Donc la dérivée d’ordre m est indépendante de x, du ne renferme pas x , et par conséquent/ “H-'x est nulle, ainsi que toutes les dérivées suivantes.

Remarque. Supposons qu’on donne une fonction telle que fx=(x— a,)(x'— a,)(x— a3) .... (x— a,„-,)(.r— «,»)

le nombre des facteurs binômes étant ni, et cherchons f‘x, sans développer ce produit; on aura

a,)(A+x-a,)(A-t-a7-a3).,.. (A-+-x-tfm,)(/t-t-x-am).

On peut regarder /(x A) comme le produit de m facteurs

ayant pour premier terme commun A , et pour seconds termes les

quantités x— «,, x — a,, x — «m.

Or dans ce produit, otdonné suivant les exposants décroissants de A , l’avant-dernier terme ( 1. 1 , p. 12) est A’, multiplié par la

somme des produits m — 1 à m — 1 des quantités x — a,,x — a*

que nous regardons comme les seconds termes des binômes — a,), A-f-(x — a,), etc... Donc la première dérivée de fx, qui n’est autre chose que le coefficient de A' , est égale à la somme dés produits m — 1 à m — 1 des facteurs x — a, , x — a,,.... x — am. Mais pour former ces produits, il suffit de supprimer dans fx successivement chcun des facteurs x — a, , x — etc.... x — am , et d’ajouter les quotients.

Donc fx= H- Jf- + ...H tfL. .

.ce qui fait la somme des quotients de fx par chacun de scs facteurs du premier degré.