I.IVRE iy

PROPOSITION II. — THÉORÈME

Le développement de f(x-\-h) peut toujours être mis sous la forme :

h' fi, h n hm

/(x+/t) -fx+hfx-h-j x.

En eflct , soit

/^=Axn‘H-A1a?n,-,+ ... 4-An,n.rn-f- . . . -+-Am.

Pour former /(#+/«) il faut remplacer x par x-\~h , ce qui conduit à former les puissances de x-\-h. Or dans une expression’ telle que h(x-p-Ii)m, le terme qui en a n avant lui est

Am"l l , . k"

— - . xm—"hn ou m°i—‘hxw~‘ y—.

D’après cela on formera d’abord A (x-+-/i)"; puis affectant A de l’indice 1 , et changeant m en m — 1 , on en déduira

A,(x+/i)m— etc.;

affectant A de l’indice m — n, et changeant m en n on obtiendra A„n(x+/i)n, etc. Ordonnant suivant les puissances ascendantes de h , et rassemblant dans une colonne tous les coefficients de la même puissance de cette lettre h, on a

l+AdaM-A)®— 1 J l+A.a;1»— 1)°!— 'A,xm— »— ’

l-+-etc I V+-

<+Aœ n(x+A)"\=<-t-Am DX'-|- +n"i-'A„n

l-t-A \ b-Am,x+

l+Am J l-4-Am