AA

La première colonne du second membre est fx , et le coeffi-

cient de ; — est lnl*

m"l— . A^m-”+(m— l)"i-,A,xn,-n— . . . H~n- 1— Ara B.

ALGÈBRE

Ce qui (p. 1 , c.) est égal à f°x. Ainsi faisant successivement n = 1 , 2, etc., on trouvera les termes indiqués dans/(#-+-/i) ; cai*

le terme général est .J'" x.

Quant au dernier terme AAm on peut le mettre sous la forme

ou d’après p. 1

Cprollaire 1 . Dans/(x+/i) remplaçons x par a, h par/*?!/ — 1 . On a (1. 2, p. 40).

(/Sl/^l)’ = H*. (^~^)3 =-/S3!/iri,(/9!^ZÏ)4=/î4,etC. Donc l)

=/«+/3^-1 ' “+>elc-

Si les coefficients d efx sont réels etc., seront réels,

et si l’on écrit

/(«+!* =fa — • f' o- etc.

j/«- o/"“+!XO'/’"“ el0-j;

la partie placée dans le second membre, sur la première ligne sera réelle et la seconde ligne sera imaginaire. Ainsi J\a peut être représenté par P-f-Q/^l/ — 1, P et Q ne renfermant que des puissances paires de fi.

Pour déduire de là f(ot, — (lÿ — l), il suffit de changer fi en — fi ; dans ce cas P et Q ne changent pas; donc

si /(a+/9l/HT)=P+Q/îl/=T.

La partie réelle est donc la même,£t la partie imaginaire l’est au signe près.

Si les coefficients de fx ne sont pas réels, fa, f‘a , etc. , sont, de la forme a+b^ — 1 ; P et Q sont donc aussi de cette forme

Soit P = P-f-P'V— 1 ; Q=Q'+Q"pdî-

On aura * -

f(a+pV'~\) ~ P;— Q"/9 +(P,/+Q'/3)

l) = P'-f-Q"/î +(P"QWl/ZT.

Ainsi la partie réelle n’est plus commune, non plus que la partie imaginaire. Quoi qu’il en soit, si fx est de la forme

le premier terme de/a est am; dans/(a+^f^— 1) aucun autre terme ne renfermera a à la même puissance; par conséquent si l’on représente /(a+Z?^ — l) par S-f-TP^— 1 , S et T étant réels , S sera un polynôme de degré m par rapport à a , et T sera au plus de degré m— 1 ; doiic le carré du module de f{a+pVSZT\), c’est-à-dire S’+T1, aura pour premier terme a’m, et sera du reste entier par rapport à a et à /?.

Corollaire 2. Supposons/x = Axm-t-A,x" ... -+-Am; lès coefficients étant réels et entiers, si l’on donne à x une valeur entière a; les valeurs de fa ,f‘a,f“a , etc., pourront se calculer comme on l’a montré dans le troisisième livre.

Soit par ex. fx — 3x4 — 7x3 — 5x’+9x-f-16, et calculons /2 = 3.2'— 7 ,23— Ô .2’+9 . 2*-f-16

• Suivant la marche citée , on trouve

Ayan t calculé fa , f'a ,f“a, etc. , si l’on veut calculer/ («— {— /t) ,

334 ALGEBRE.

/'(o-j-A), /"(a-f-A), etc., çù A est un nombre donné, on écrira

Si l’on fait la somme des derniers termes des diverses colonnes, on Trouve