LIVRE PREMIER
* Corollaire. On a donc la relation identique (1) xm—am
— (x — a) (xm— ,-f-axm—2-i-a'2xn'— 3-j- .... nm-3a2-|-am-2x-|-
Comme a et a; sont des quantités quelconques (p. 16, 17), faisons a= — a; si m est pair ara = ( — a)m sera =am; m — 1 sera impair et «">— 1 sera = — a,n— J, etc. Donc on aura
Xm — am
— (x-\-a) ( xm-i — «a;m-2-(-c£2xm-3 am~ 3ar2— j— ccTO — —
am~ ').
Donc si m est pair, xm — a"1 est aussi divisible par x-\-a.
Si m est impair, onaa"=( — a)m~ — am, am~i=am~\e te., et la relation (1) devient
(arn’-f-am) = (*-f-a) (xm—i—axm~1-\- . . . +am— *) , de sorte que si m est impair, est divisible par x-i-a.
PROPOSITION XXIII. — THÉORÈME
Pour élever un monôme à une puissance , il suffit de multiplier l’exposant de chaque facteur parle degré de cette puissance.
Soit le monôme 7 a5ô2 à élever à la troisième puissance; à cet effet, il faut faire le produit de trois facteurs égaux à ce monôme (déf. 4) , ce qui donne
(7«562)3 = 7 a5t2x7 a562x7 a5!»2 = 7.7.7 .as.a5.a&.ô2.i2.ô2 =
7 3a5x3/,3X2 = 34 3ai&b6.
Dans cette opération , les facteurs qui n’ont pas d’exposants sont censés avoir l’exposant 1 ; c’est dans ce cas que se trouve le coefficient 7.
En général, soit Aam6n à élever à la puissance a; on aura (Aamôn)*=AflmônxAa”6nx
Ce produit renferme a facteurs égaux à A , qui donnent A*;
il renferme a facteurs égaux a,m, dont le produit est am.am
= «p-HH- . . . . — a“m; enfin il renferme a facteurs égaux à bn
ai.gJîiîrf.
qui donnent />“" ; donc (Aambu)*=K*am*ba*.
Cette démonstration ne suppose pas que raeln soient positifs; on aura donc de même
La proposition est encore vraie si a est négatif. Car soit
(A a™)—*; cette expression revient (p. 14, r. 2) à' , qui,
(Aam)*
d’après ce qu’on vient de prouver, est égal à
ou à A- “a— “* (p. 14, r. 2)
donc — A ~ *a~ ma.
Ainsi on a multiplié par — a les exposants 1 et ai des facteurs A et a.
Remarque 1. S’il s’agit d’une expression fractionnaire à élever à la puissance G, on élève chaque terme à cette puissance. Car
bXbX ClC'“ b.b.b....
Remarque 2. On peut donc former immédiatement une puissance quelconque d’un monôme sans former les puissances de degré inférieur. Pour obtenir le même résultat par rapport à un binôme tel que x-j-a, il ne suffit pas de faire le produit de plusieurs facteurs égaux à x-|-a. On trouvera bien que
(a?-|-a)2 = a?2-+-2aaM-«2
(x-4 -a)3 = x3-)-3flx2-)-3o2x-|-a3 , etc.
Mais on ne voit pas comment ni par quelle règle on pourrait retrouver les coefficients numériques contenus dans ces résultats, à moins de refaire les multiplications. Car ces coefficients proviennent de réductions; ils ne portent pas avec eux l’indication des opérations qui les ont produits, puisqu’un même nombre peut résulter d’une infinité de systèmes d’opérations , tous différents. Le moyen d’éviter ces réductions, c’est de prendre des binômes dont les seconds termes sont différents , comme à la prop. 12. Mais dans ce cas il faut savoir combien il y a de termes dans les expressions désignées prop. 12, par Sj , , . » . S .
