AA A

Représentons par p , , p, , . . . pm , les quotients —, ^4 , • • • j- ; cette fonction pourra être mise sous la forme

A(.++p1a;™-'+pïxm-î+ . . . +pm)

et pour que le module de Axm soit plus grand que la somme des modules des autres , il suffit que xm soit plus grand que la somme des modules de p,xm—' , p,xm— . . . pm.

Or si parmi les modules des coefficients p, , p, , . . . pm , on appelle C celui qui est le plus grand (ce qui ne l’empêcbe pas d’être égal à un ou plusieurs autres), la somme des modules de p, ptXm—* . . . pm , ne surpassera pas

Cxm-'+Cxra-’+Cxm-3+ ... +Cx+C,

de sorte que si l’on trouve pour x une valeur )> 1 , qui rende xm plus grand que ce dernier polynôme , la question sera résolue.

Or pour que ®ra^> Grm - '+Gxm— ’+ . . . +Cx+C , il faut et il suffit que l’on ait

i>c(è+^+ etc- ~^hy

Comme x est 1 , cette condition sera remplie si , au lieu

d’arrêter le facteur entre parenthèses à.— , on. les prolonge à

l’infini , ce qui augmente le second membre. Ainsi il suffit qu’on ait

ou

1>C(rh3F + ^ )’

et pour cela il faut et il suffit que

x — 1~ C ou x^ C-+-1.

Ainsi l’unité augmentée du plus grand des modules de A A* A

Y* » -r— ... satisfait à la condition exigée, et tout nombre AA A

plus grand jouit de la môme propriété.

Corollaire. Il s’ensuit que si dans la fonction proposée on fait varier x depuis C+t jusqu’à +ao , la fonction proposée sera toujours du signe de A. Car x“ étant alors plus grand que la somme des modules de tous les termes p,xm etc., on conclut que, même si tous les termes qui suivent x™ étaient négatifs, la fonction xm-+-plxm— -\-pm serait positive. Donc c’est A qui donnera son signe à A(xm-f-...)#

Si m est positif et qu’on fasse varier x depuis — (C-f-1) à — 00 , le terme x" sera positif et toujours plus grand que la somme des modules de tous les autres. Donc c’est encore le signe de A qui sera celui de la fonction.

Si au contraire m est impair , et qu’on fasse varier x depuis t(C-+-1) jusqu’à — « , le terme Axm change de signe; mais son module reste plus grand que la somme des modules de tous les autres. Donc le polynôme restera de signe contraire à A.

Ainsi en résumé si dans une fonction entière et réelle de x, de degré pair, on fait varier x depuis -j-(C-f-l) à +00 , ou depuis — (C-j-1) à — 00 , la fonction conservera le signe de son premier

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coefficient; si le degré de la fonction est impair, elle conservera encore ce signe pour toutes les valeurs de x depuis C—f-t à H-oo ; mais elle prendra un signe contraire depuis x — — (C— 1— 1) à x — — oo .

PROPOSITION IV. — THÉORÈME

Soit a un nombre absolu qui substitué à la place de x dans une

fonction réelle xm-\-p,xm- ' , rend le premier terme plus grand

que la somme des modules des termes négatifs; si l’on fait croître x depuis a jusqu’à -f- oo , celte fonction croîtra sans jamais décroître.

Pour le prouver, nommons P la somme des termes positifs qui viennent après a?1", N la somme des termes négatifs, abstraction faite de leurs signes; la fonction peut être représentée par

xm — N-+-P ou xm[\ -j + P.

Or si l’on fait croître x à partir de a, P croîtra, puisque c’est une somme de termes positifs et entiers en x ; xm croîtra

auSsi. Quant au facteur 1 — — , je dis qu’il est positif et crois-

sant, depuis xz=a, jusqu’à x~ oo . Car N se composant de termes de degrés moindres que xm , il est de la forme

h, /.... étant positifs; a, ... aussi, et d’ailleurs moindres que m.

Donc

Cbacun des termes de ce second membre diminue à mesure

que x augmente, et puisqu’ils sont positifs, leur somme — di-

xm

minue aussi.

Mais pour x — a, xm est^>N, par suite — est<^l; donc N . . N .

pour x —a, le facteur 1 est positif, et comme — diminue