LIVRE IV

à mesure que x croit à partir Je a, on conclut que oc facteur

augmente. Donc xm { 1 -J -f-P croit depuis x=a à x=-+- oc.

Corollaire 1. Appelant encore C la quantité ainsi nommée dans la p. 3, on remarquera quex = C-M , qui rend le premier terme xm plus grand que la somme des modules de tous les autres, le rend à fortiori plus grand que la somme des modules des termes .négatifs; donc si x croit depuis C-f-1 à +oo , la fonction de x croîtra indéfiniment sans jamais décroître.

Corollaire 2. Il résulte du cor. 1 , p. 2, que si fx est réel et

delà forme a?m+etc., le carré du module de j\y-\- zV' — 1) est une fonction entière de jet z, ayant pour premier termey’"'. Si dans cette fonction on donne à z une valeur quelconque , on pourra conclure qu’en faisant ensuite varier y depuis C+l jusqu a l’infini, celte fonction variera aussi.

Donc on peut faire varier y et ~ de manière que le carré du module, et par suite le module même, varie indéfiniment.

PROPOSITION V. — THÉORÈME

Dans toute fonction entière et réelle d’une lettre ordonnée suivant les exposants croissants de celte lettre, on peut assigner à celte même lettre des valeurs telles que le module du premier terme surpasse la somme des modules de lotis les autres. *

Soit la fonction

= B tt'-f- 77 W+,-+- • • • -t-p M'+n

Parmi les modules de ~ , etc., soit D le plus grand ; il suffira B

de rendre «' D («'•+■' -f- . . . — f- . . .

Prolongeons à l’infini la progression «'+' etc., .... divisons par u' ; il suffira que

ALGEBRE.

- . « Supposons u 1 ; la limite de la progression est — -

Donc on fera

C’est-à-dire

Ainsi en prenant pour «un nombre absolu p on rem‘

plira les conditions de la question.

Remarque 1 . Si u est infiniment petit , la fonction proposée l’est aussi.

Car soient M, M les modules de B, B,

Le module de la fonction n’est jamais plus grand que

Soit k le plus grand des nombres M, M, , . . . . M„; ce dernier polynôme est

< k{ii H- u'+' -H ) à l’infini

ou Y~ <lu* est infiniment petit avec «.

Il suit de là que si x varie d’une manière continue , fx supposé réel variera de même ; car si l’on donne à x deux valeurs réelles a et a-\-h, on aura

f(a h) —fa hf‘a + 2 ® m J' ^

d’où /(«+ h)-fa=hf‘a+ jf‘a + . . . + fa™.

Or, si h est infiniment petit, le second membre est infiniment petit, donc la variation d efx est infiniment petite; car cette varia lion est f(a + h) —fa.

Celle conclusion n’est infirmée que si fx est indépendant de x, ce qu’on ne suppose pas; dans ce cas f‘a, f"a sont tous nuis.