LIVRE IV

Dans le cas oùfx contient en effet x , il a été prouvé (p. 4) qu’on peut faire varier x de façon que/x- varie; ainsi fa-\-h)—fa ne saurait être constamment nul; il ne le sera jamais lorsqu’on fera varier x de C-f- 1 à+ 00 (p. 4, c.)

Remarque. Les propositions 3 et 6 s’appliquent aussi aux fonctions à coefficients imaginaires.

PROPOSITION VI. — THÉORÈME

Soit fx une fonction entière de'x , réelle ou imaginaire , c une expression de Informe a 4-/9 V' — 1 ; si fcni fc' ne sont nuis ,je dis

qu’il y aura une valeur de x, de la forme a 4-/9 ^ — 1 , qui rendra le module de fx plus petit que celui de fc.

En effet soit c-f-d une autre expression de la forme a +on a (p. 2)

fc 4- d) —fc + dfc ou , puisque/c n’est pas nul,

dfc

f(c-\-d)=fcl 1

ïf

d étant indéterminé, nous poserons

e étant réel et positif, d’ailleurs

dfc fc ~

cfc

arbitraire; delà d — — d—

* / fc

Cette valeur de d est de la forme «4-/9l/ — 1 , puisque —

l’est; donc c+d l’est aussi; et puisque d est proportionnel à e, d’ le sera à e1, d3 à e3 , etc., de sorte que par la substitution de cette valeur , on aura

fc-+~d)=fc(l -e-+-ge'-f-ke3-+-. ; . .)

où g, etc., sont les coefficients, tous de la forme a 4-/9 —1. De là on déduit (I. 2 , p. 43).

ALUÉBRF..

module de/(c-|-d)=:mod, de.yè X mod. de(l — e-hge* -\-hey).

Le module de l—e est 1 — e lui-même, si nous supposons e 1 ; soient g‘, k‘, etc., les modules de g, k, etc.; ceux de e%, e3, etc., sont ces quantités mêmes, et ceux de ge%, /ce3, etc., seront g'e* , k'e3, etc. Or, (1. *2, p. 44) le module d’une somme est inférieur ou égal à la somme des modules des parties; donc

mod.dejl — e-f-ge’-t-fre3.... | ^ 1 — e -\-g'e'->r-k‘e3 . Donc

mod. de/(c -)-(/) — mod.

ex! 1 — e-)-g'/e’-)-/r'e3H-.

Jusqu’ici e est resté arbitraire; nous le supposerons infiniment petit, par suite la série

— e-\-g‘él-\-k‘ei - 1-. ....

sera (p. 5) infiniment petite et négative.

Donc 1 — e-i-g‘e,-+-k'e3-\-, etc est 1 ,

et mod. def(c +(/) mod./e. Ce qu’il faut démontrer.

Définition 4. Une équation du degré m à une inconnue est une équation réductible à la forme

AifH- A .I--' -f- Am,ar-(- Am =0.

x étant, l’inconnue; A, A„ ..... , Am des quantités connues de

la forme a -f- fi et m un nombre entier positif.

Définition 5. Une racine d’une équation est une expression de

la forme a. + fiV' — 1, qui mise pour .r, rend l’équation identique.

Les racines d'une équation /à?:=0 ne changent pas si on multiplie cette équation par un facteur indépendant de x et différent de zéro. Car pour que le produit .A fx devienne nul, il faut et il suffit que fx le devienne , si A est indépendant de x et différent de zéro.

Définition 6. Une équation binôme est celle qui ne contient qù’un terme affecté de l’inconnue, et un ternie tout connu,

x’1 — 6 = 0, x3-jrl — \// — 4 = 0 sont des équations binômes.