LIVRE IV

PROPOSITION VII. — THÉORÈME

Toute équation binôme a une racine de la forme a-f-bL7 — 1. Soit l’équation binôme

fx — xn' — (a-t- pV' — l)=0.

Pôur qu’une expression soit racine de cette équation , il faut que, élevée à la puissance m , elle reproduise a + — 1, c’est-

à-dire il faut qu’elle soit une détermination de « +

ni

Or, si m est une puissance de 2, il est prouvé que Va-hpy/-l

a une détermination de la forme a-\-b\/ — 1. Donc l’équation proposée a, dans ce cas, une racine de celte forme.

Si m est pair, la proposition se ramène au cas où m est impair. Car soit m —2m‘; on aura

d’où x'"' -=.\/ a + py — I ,

ce second membre est de la forme u-k-p'V^ — 1 (I. 2, p. 41). Ainsi la question est ramenée à l’équation

xm ' — a-\- ft' V — 1.

Si m‘ est encore pair, on raisonnera de mémo jusqu a ce quu l’exposant de x soit devenu impair..

Supposons donc m impair. La proposition est évidente si p est nul. Car alors l’équation devient

IJI

‘ • xm — a d’où x = ^ a.