III

Or , m étant impair, ^ a a une valeur réelle qui est par suite comprise dans la forme «-+-6 L7 — 1 .

ai.üLuhk.

La proposilion se démontre facilement si a est nul , cas où

l’équation devient x^xzft V — 1.

Faisons ici x —x'V' — 1 d’où xm — î ; car m étant

impair,' on a (I. 2, p. 40)

L’équation se réduit donc à >

±x,mV — 1 1 ou —

d’où, vu que m est impair

CD

x ‘ — ± ^ (i qui est réel

et x — ,

expression de la forme a~\-b — 1.

On peut donc maintenant supposer que ni a ni (i n’est nul. Remplaçons x par y-\-z — 1; il faudra prouver qu’il existe *

pour y et z des valeurs réelles qui rendent identique l’équation

c’est-à-dire qui annulent le module de/^-)--^ — l) (1*2, déf. 11).

Or on peut faire varier y et z de manière que ce module varie (p. 2, c. 1); d’ailleurs ce module est essentiellement positif : donc parmi toutes les valeurs différentes qu’il est susceptible de prendre, il y en a une qui est plus petite que toutes les autres, et je dis que cette valeur minimum est nulle.

D’abord ce minimum ne répond pas àx=:0;en effet si x =0 ,

on a fx = — l)

. $ in

dont le module carré est «’ Mais si l’on fait x=y^â, on aura xm — a,etc.,/x= — ftV' — 1 , dont le module carré est (i', quantité plus petite que la précédente, puisque « n’est pas nul. Donc il y a un module plus petit que celui de /O.