LIVRE IV

Soit c la valeur de x qui répond au minifnum du module , on a f'c = mc"-', expression qui n’est pas nulle puisque c ne l’est pas. Si donc/c n’était pas nul (p. 6) , il existerait une valeur de# pour laquelle le module de fs serait moindre que celui defc, qui par hypothèse est minimum; ce qui est absurde. Donc si c répond au minimum du module, fc est zéro; donc x — c est racine de/# = 0.

PROPOSITION VIII. — THÉORÈME

Toute équation à une inconnue a une racine de la forme

a+b^Zï. '

Soit fx — #n,-|-p1a!m— ' 0, l’équation , ayant ses coef-

ficients réels ou non.

Remplaçons x par — 1. Le module carré de

/(yH-zl/- 1) ,

sera variable (p. 4, c. 2), et comme il est positif, il aura un minimum : je dis que ce minimum est nul. Car soit c — a- \-b\/ — 1 , une valeur de x qui répond à ce minimum ; si ce minimum n’est pas nul, fc ne l’est pas non plus; soit d un accroissement de là forme u-\-b \/ — 1. Si l’on développe /(c-f-tf) suivant les puissances ascendantes de d( p. 2), il peut se faire que parmi les fonctions/'c,/"c, etc., il y en ait plusieurs qui soient nulles; mais

dm X"

le dernier terme - . / c ne le sera pas ; on peut donc

supposer /(c-f-d) =fc- f-D . d“-f-D. d“+l-+- ...

D étant la première des expressions/'c , - J c , etc. , qui n’est pas nulle.

Puisque/c par hypothèse n’est pas nulle, on aura /(c-HO =/c | 1+jr • • d"+'-+- . . .

On posera^ . d" = — e", d’où d — e y — j^.

Or est de la forme a-y-bV —1, et en vertu de prop. 7 ,

' ir

|/ a une valeur de cette forme; nous supposons d’ailleurs e^> 0, et par suite d est aussi de la forme a-^-bV' — 1. Posant

d’où d —ge, la valeur de f(c-\-d ) prend la forme

f(<H-d) =fc { i — eM-Een-H|Fe”-t-’t- ... }

E, F, etc., étant de la forme a-\-b\/ — 1.

Nommons E, , F, , etc., les modules de E, F, etc. ; on conclura comme ci-dessus

mod./(c-f~d) ^mod./ex j 1— e"H-E1en-+-,-F-... }; r

supposons e infiniment petit, on aura encore mod,/(c-)-d) <^mod./c,

ce qui est absurde; donc fc est nul, et l’équation /i=0a une racine c de la forme a-\-b\/ — 1.

Définition 7. Une fonction entière est dite divisible par une autre, s’il en existc.une troisième qui, multipliée parla seconde, reproduit la première.

Ainsi toute fonction entière d’une lettre est divisible par une expression quelconque indépendante de celte lettre. Car si l’on a une fonction entière de x , telle que

le quotient de celte fonction par 4 est

iJI = 2Ô*’—3-!*+î

fonction entière de x.