LIVRE IV

De meme si fx esl divisible par<jp.r ,et quem est indépendant de x, mfx , — Jx sont divisibles par ipx , car si fx — (ÿXXfX ,

on a mfx — (pxXmxpx , — Jx — * — VJX ’

et les quotients mipx, — yix sont des fonctions entières de x.

Enfin on aura aussi

fx — mrpxX — ifjx

c’est-à-dire que fx sera aussi divisible par nupx.

PROPOSITION IX. — THÉORÈME

Soit fx une fonction entière de x à coefficients réels ou non , a une expression de la forme — t ; si fa est nul , je dis

que fx est divisible par x — a et réciproquement.

Soit

fx = A^+A, ... H-An^m-n-+- . . . -f-A10,x-)-A,u.

Si l’on divise fx par x — a, le premier terme du quotient sera. Axm—‘ ; multipliant ce terme par le diviseur x — a et retranchant du dividende , on fera disparaître le premier terme du dividende, tandis que le second sera modifié et tous les autres resteront intacts. La même chose se passera dans un dividende partiel quelconque, et tant que l’on ne placera au quotient aucun terme fractionnaire par rapport à x (comme nous le supposons) , les restes seront entiers par rapport à cette lettre. Le dernier terme que l’on placera au quotient sera donc celui qui renferme x" et qui répond à un dividende du premier degré enx,\ ce terme du quotient, multiplié par le diviseur x—a, donnera encore deux termes qui retranchés du dernier dividende partiel, y détruiront le terme en x et fourniront un reste indépendant de x.

548 ALutBDE.

Soit R ce reste, (px ie quotient , on aura l’identité fx — (x — a)(px-{- R.

Quelque valeur qu’on donne à x , R qui est indépendant «le x, ne changera pas; faisons x — a ; dans le second membre, (x—d)(px, devient OXrpa , et comme (pa est fini , ce produit est

nul ; on a donc fa = R ,

si donc fa est nul, comme on le suppose, le reste R est nul, et fx est divisible par x — a.

Réciproquement, supposons qu e fx soit divisible par x — a; soit (px le quotient, on aura l’identité

fx = (f — a)<px ,

et si l’on y fait x = a, il vient fa — 0 : donc fx est annulé par x — à.

Corollaire 1. Quel que soit a , le reste de la division d efx par x — a est fa; ainsi pour le calculer, on remplacera x par a dans/r, et on pourra conduire le calcul comme au livre 3, p. 2). Or ce même calcul fournit immédiatement aussi les coefficients du quotient. En effet, d’après ce qu’on a dit plus haut sur les dividendes partiels , il s’ensuit que le ne dividende partiel est de la forme

BA-,x”- A „xra— A n-|- , xm ” +Am,

A„ , , etc. , étant des coefficients defx.

En continuant la division à partir de là, on trouve au quotient les termes B„,xm -n4-(aB„ - 1+A„)xm-n -'+...

Ainsi connaissant le coefficient Ba,, pour avoir le suivant, on multiplie B„, par a, et on ajoute A„, coefficient qui dans fx a le même rang que aB„,-(-A„ dans le quotient. Or le premier coefficient du quotient est A ; donc les suivants sont

An’+A , a-+-A , • ^

An1— (—A , u*— f— A A 3

etc.

i.ivnE iv.

Le dernier sera Aa“— ’-l-A.a™— ’+ . . . +Am, , et si on le traite comme les précédents , on aura le reste ’-h .. . +Am —

En représentant le quotient par

Bx”- '+B1xra-,-|- . . . -+-Bn,x” -"+B».r”-n-,-4- hB„-, ,

on a donc B = A, B, = aB-j-A, , B^rraB.-f-B*, etc.

B„ = aB„— ,-f-A„ et le reste B = aBm,+Am.

S’il s’agit par exemple de diviser

3ar}-)-4ar3 — 5ar’ — 7jr— f— 3 par x+2, où a — — 2, on a le reste

Et on trouve pour quotient

3 a:3 — 2a:’ — ar-f-5.

Corollaire 2. Puisque fa est le reste de la division Aefx par x — a, il s’ensuit que si fa n’est pas nul ,fx n’est pas divisible par x — a , et si fx n’est pas divisible , fa n’est pas nul.

Corollaire 3. Au moyen de la prop. 9 , on peut reconnaître dans quels cas xm±:am est ou n’est pas divisible par x±a

1° xm — am — fx est toujours divisible par x — a; car fa = a”— a” est nul.

2° Si m est estpaiéar” — am=fx est divisible par x-] -a; car — a)=( — a)" — am~am — a” puisque m est pair.

3° Si m est impair xm — a” n’est pas divisible par x~\~a; car dans ce cas ( — a)m— — a”; Donc fa— — a” — a” = — 2 a” qui qui n’est pas nul.

4° a^“-f-am n’est jamais divisible par x — a, car si l’on y fait x—a, on trouve pour reste de la division 2a” qui n’est pas nul.

5° Si m est pair xm -\-am—fx n’est pas divisible par x-\ -a; car /( — a) = ( — a)” + a”=2a”, vu que dans le cas de m pair (— a)“=a”.

6° Si ni est impair fx~xm 4-«” est divisible par x-^-a-, car x— — a donne fa = ( — a)™ -|-flm=z — am -f- a™ = 0.

Remarque 1. La p. 9 peut s’énoncer ainsi qu’il suit :

Si a est racine de l’équation fx = 0 , le premier membre est divisible par x — a , et réciproquement , si le premier membre est divisible petr x — a , c'est que a est racine.

Corollaire 4. Comme il est prouvé (p. 8) que toute équation a une racine, il s’ensuit que toute fonction de x admet un diviseur du premier degré par rapport à x.

PROPOSITION X. — PROBLÈME

Toute fonction entière de x de Informe xm-\-p,xm— =fx, est le produit d'un système unique de m facteurs de Informe x — a.

Il est démontré (p. 9, c. 4) que/x admet un facteur de celte forme; nommons-le x — a , , et soit fx le quotient; on aura fx — (x—a,)fx.

Or ,f,x est de même forme qu efx, mais de degré ni — 1 ; donc fx afimefaussi un facteur de cette forme; soit x — a, ce facteur, fx le quotient qui est du degré m — 2 ; on a

f,xxz(x—a,)fx

On démontre de même que

fx — {x—a^)fx fx=(x-af,fx

fx,fx étant des quotients entiers en x, et dont les degrés vont en diminuant d’une unité; après avoir mis en évidence m — 3 facteurs du premier degré , on aura donc un quotient du troisième degré, que nous nommerons fa—3i ce polynôme aura aussi un facteur du premier degré , tel que x — am,, et l’on aura

fm-3X — (x — rU„> - ffin - a*

le quotient fm-,x sera du second degré, et se décomposera en deux facteurs du premier, que nous nommerons x — ain—, , x — am, et il vient

fm-tx=(x—am-,)(x—am).