LITRE IV

Multipliant membre par membre toutes ces égalités, et supprimant les facteurs communs, on a

fx~(x — a,)(.r — a„) (x— am).

Donç/r est le produit de m facteurs de la forme x — a.

Je dis qu’il est impossible qu’un autre système de facteurs de celle forme reproduise fx. Car si l’on avait

fx=(x—b,)(x—b,) (x— bm).

On aurait aussi

(1) (x— a,)(x— a,).... (x—am) = (x—b,)(x—b2)..„(x—bm).

Dans cette égalité le second membre s’annule si l’on fait x=b,; donc le premier s’annulera aussi ; mais pour cela il faut et il suffit que l’un de ces facteurs s’annule; supposons que ce soit x — a, , on aura b, — a,=0,ou5,r=a,,ouenfin x — a,z=.Xr—b,; divisant l’égalité' (1) par x — a,, on aura

(*—«») (x—am) = (x—bj (x—bm)

et on prouvera de même que le facteur x — b% a son égal dans le premier membre, et ainsi des autres. Donc les facteurs x — 6,, x — 5„. . . . x —bm, sont respectivement identiques avec x — a, , x — a,. . . . x — am.

PROPOSITION XI. — THÉORÈME

Une équation de degré ni, Axm + etc.+ Am=0, a m racines de la forme a+bl^ — 1.

En effet, que les coefficients , A, A, . . . Am soient réels ou non, le premier membre de cette équation est un produit de la forme

A Çx — u,) (^x — ... (^x a,..^ ,

et pour que ce produit soit nul, il faut et il suffit que l’un des facteurs le soit; ainsi on satisfera à l’équation proposée en posant

x=.a,, ou x = a, , ou , etc. , x — am ,

elle a donc les m racines a, , a, ... am, e t pas d’autres.

Remarque t. Si parmi les quantités fl,, a,, .. . am, il y en a

ai.gébhb.

qui sont égales entre elles, le nombre des racines distinctes est, dans le fait , moindre que m. Cependant pour éviter des distinctions embarrassantes , comme on le montrera , on est convenu de dire dans tous les cas qu’il y a m racines, sans prétendre affirmer que ces racines sont toutes différentes. C’est ainsi que l’équation ( x — l)4 (x — 2) 3 = 0 à quatre racines égales à 1 , et trois racines égales à. 2.

En général on dit que/® = 0 a n racines égales à a , s\fx est divisible par (a?— a)" sans l’être par ( x — a)"-*-'.

Corollaire 1. Si l’on prouve qu’une équation de degré m,

A®m— |— A txm Aa®m 5— |— ... — f-.Am — 0,

a plus de m racines finies , on peut conclure que tous les coefficients A, A, , A,, etc., Am, sont nuis. Car si ces coefficients ne sont pas tous nuis , l’équation admet au plus m racines ; s’ils sont au contraire tous nuis, l’équation devient et reste identique, quelque valeur qu’on mette pour x.

Il suit de là que si deux polynômes entiers et ordonnés par rapport à x sont égaux , quel que soit x , les coefficients des mêmes puissances de x sont égaux de part et d’autre, de sorte que ces deux polynômes sont du même degré. En effet supposons que, quelque soit x, on ait :

A®“-|-A1xm— -t-Am — Am — =A'x“+"4-A/Ixm+n-,-+-..-|-Bxm-4-Blxm-,-f-..-i-B,n-,a:-f-Bn,, , ou A'x“-H'+A/,a;m-t-”-,-+-,.. -f-A'nx'M-'+(B— A)xra-f- — I — (B, — A,)®”— • • -f- (B<a — , — Am 1)<r-|-B,n — Am = 0,

équation qui doit avoir lieu, quel que soit x; elle a donc plus de m-|-n racines, et par conséquent ses coefficients sont nuis, ce qui donne

puis B = A , B , = A , , . . . B„ r= A„ , ce qu’il faut démontrer.

Définition 8. Une fonction entière de n lettres x,, ®a ...xB est dite première si elle n’est divisible par aucune autre fonction entière qui renferme au moins une de ces lettres à un degré moindre. S’il s’àgit de fonctions entières d’une seule lettre x, il