LIVRE IV

n’y a de fonctions premières que celles qui sont du premier degré en x ; car toute fonction entière de x du degré m est le produit dem faetcurs de la forme x — a (p. 10). Mais parmi les fonctions entières de plus d’une lettre, il y a des fonctions premières de degrés supérieurs au premier. Ainsi x * — x,3 est une fonction première. Car par rapport à x , elle ne peut se décomposer en facteurs de degrés plus simples que sous la seule forme

(or— {— a?,3) (a? — ^x,3)

et ces facteurs ne sont pas rationnels par rapport à x,. On reconnaîtra aussi qu’elle se décompose en trois facteurs du premier degré en xt , mais irrationnels en x.

Définition 9. Deux ou plusieurs fonctions entières sont dites algébriquement premières entre elles, lorsqu’elles ne sont divisibles à la fois par aucune fonction entière renfermant au moins une des lettres principales.

Ainsi Âx' — 4 et 4x — 8 sont premiers entre eux.

PROPOSITION XII. — THÉORÈME

Pour qu’un polynôme ordonné suivant les exposants entiers positifs de x, soit divisible par une quantité indépendante de x, il faut et il suffit que chacun des coefficients de ce polynôme soit divisible par celte quantité.

Soit le polynôme

Lxm-j-L,a:m— . . . +Lin — ,x-|-Lm ,

dont les coefficients L, L, etc., Lm sont indépendants de x; soit K le diviseur qui est aussi indépendant de x. Il faudra que le quotient soit de degré m par rapport à x ; sans quoi , multiplié par K qui ne renferme pas x , il ne reproduirait pas le dividende. Ce quotient est donc de la forme

Hæ”-+-H, ,x-j-Hra.

En le multipliant par K , on a un résultat qui doit être égal au dividende , quel que soit x; donc, d’après le corollaire de la prop. 1 1 , on a

L = HK, L, = H,K,etc. Lm = Hu.K. *

ai.gLbre.

Donc L, L, , etc. , L1U , sont divisibles par K,

Remarque 1. Pour qu’un polynôme soit divisible par un monôme, il faut que chaque terme du polynôme le soit. Car si l’on multiplie le quotient par le monôme diviseur, on n'obtient que des termes irréductibles entre eux et tous divisibles par ce monôme.

2° Un terme Ax * n’est jamais divisible par un binôme B.r?-f-C. x* ; car quel que soit le quotient supposé entier en x , si on le multipliait par le diviseur , on aurait au produit au moins deux termes qui ne se réduiraient pas; ce produit sera donc au moins un binôme et ne saurait être identique avec le dividende Kx <*. *

, PROPOSITION XIII. — THÉORÈME

Si une quantité première P ne divise aucune des deux fonctions entières A et B, elle ne divisera pas leur produit AB,

D’abord si P, A, B sont des fonctions entières d’une seule lettre x , P sera du premier degré en a?, et de la forme x — a (déf. 8). Posons A—fx,1^— <pr. Puisque x — a ne divise ni fx ni rpx , on conclura queni/a, ni <pa ne sont nulles (p.9,c. 2). Donc le produit/aX<jp« n’est pas non plus nul (1. 2) , et par suite fxXtpx , n’est pas divisible par x— a.

En second lieu supposons la proposition prouvée toutes les fois que. P, A, B, renferment n lettres principales ou moins; nous allons prouver qu’elle est encore vraie , s’il y a une lettre principale de plus; soit x cette n+l' lettre.

Il y a deux cas : t° le diviseur P ne contient pas cette n-f-l® lettre, ou 2° il la contient. *

1er Cas. P ne contient pas x.

Puisque A , qu’on peut ordonner par rapport à x, n’est pas divisible par P, qui est indépendant de x, il y a dans A un ou plusieurs termes dont les coefficients ne sont pas divisibles par P, sans quoi A le serait. Nommons A'ia somme des termes de A, dont les coefficients sont divisibles par P, A" la somme de ceux dont les coefficients ne le sont pas; on aura A=:A'-}-A".

Posons de même B=B'+B", B' étant divisible par P, et aucun terme de B" ne l’étant. Il vient