LIVRE PREMIER

PROPOSITION XXIV. — PROBLÈME

Trouver le nombre des produits différents qu'on peut faire avec m lettres 2 à 2 , 3 à 3 , etc.

Supposons d’abord qu’il s’agisse des six lettres ,

Pour former les produits 2 à 2, on prend la première lettre u j

et on la multiplie successivement par chacune des cinq autres ,

ce qui donne les cinq produits

ii i 3’ i 4 i 5’ i 6

La seconde lettre, multipliée de même par chacune des cinq

autres, donne aussi cinq produits

a a ,a a.., a a. a a,, a a., ai’ a J ' 24’ a 5’ a 6

Chacune des six lettres donnant de cette façon cinq produits , on aura 6.5 ou trente produits. Or je dis 1 % que tous les produits 2 à 2 se trouvent formés; 2° que chacun de ces produits est formé deux fois.

•En effet, 1° soit donné à priori un produit quelconque de deux de nos six lettres, ar«.,jedis qu’ila été formé; car le premier

facteur de ce produit est nécessairement une des six lettres, ...a.; or, cette lettre a 5 a été prise à son tour pour être multipliée par chacune des cinq autres ; elle a donc aussi été multipliée par a; et a fourni le produit en question a.a , . Donc, en opérant comme

nous l’avons prescrit, on est certain de n’ometlre aucun produit.

2° Le produit a été formé deux fois; car chacune des

deux lettres été prise à son tour; chacune a été multi-

pliée par toutes les autres; donc a été multiplié par n , et par Oj , et le produit n(a2 a été formé au moins deux fois. Je dis

qu’il n’a pas été formé plus de deux fois ; car il n’y a que les lettres , a ^ qui puissent le donner; a , par exemple, multiplié

par telle autre lettre qu’on voudra, fournira toujours un produitcontenant a que ne doit pas renfermer. Mais la lettre

algèbre.

ne devant être multipliée qu’une fois par a ^ , ne peut donner qu’une fois le produit ,ata2> de même a, ne donne qu’une fois ; donc enfin, nlci2 ou n’a été formé que deux fois.

Ainsi dans nos trente produits nous avons deux fois chacun des

produits distincts que nous cherchons; donc le nombre de ces

produits distincts est 15 ou — ou — .

J Jt

Pour former les produits 3 à 3 des six lettres, on supposera formés les produits 2 à 2; soit ata un de ces produits. A sa droite

on placera successivement chacune des quatre lettres qui n’y entrent pas, lettres qui sont «3, a , a., «g, et l’on aura les quatre produits

a a a ,, a a a, , a a a., a a ci-

Chaque produit de deux lettres fournira ainsi quatre produits

de trois lettres; on aura donc en tout 15.4 ou • } produits de

trois lettres.

Or je dis 1° que tous les produits de trois lettres sont formés, et 2° que chacun de ces produits a été formé trois fois.

En effet 1°, soit donné à priori un produit quelconque de trois de nos six lettres, par exemple a5«^ag. Ce produit commence par deux des six lettres, ara^-, or, ce produit de deux lettres a été employé, puisqu’on a pris successivement tous les produits 2 à 2; à la suite de ce produit asa, on a dû placer chacune des lettres qui n’y entrent pas; donc on y a placé la lettre ag, et on a formé le produit en question a.a^a^.

En second lieu, chaque produit a été formé trois fois. Car, si dans le produit a^rt^a^ on omet successivement chacune des trois

lettres, on aura trois produits de deux lettres , a a a, a a 3, <yi3 , dont chacun reproduira «I«î«3 une fois, lorsqu’on le multipliera

par chacune des lettres qui n’y entrent pas. Aucun autre produit de deux lettres ne peut reproduire aa^a^ car ce dernier ne peut

être donné que par les produits de deux lettres qui renferment deux des trois lettres a , a^, «3, c’est-à-dire par ceux qu’on ob-