A=PQ

ainsi A serait un multiple de P. • *

Donc si AB était divisible par P, A le serait, ce qui est contre l’hypothèse. Par conséquent AB ne l’est pas.

Supposons enfin que A, B, P, contienne les /H-l lettres; si l’une des deux fonctions B, A, par exemple A est, au moins de même degré que P par rapport à la lettre d’ordre x , on divisera A par P, sinon on divisera P par A. Admettons le premier cas. Poussons la division jusqu’à ce que le reste soit de degré moindre que le diviseur P. Il peut se faire que pour cela on soit obligé de mettre au quotient des termes affectés de dénominateurs indépendants de x ; on réduira le quotient et le reste au même dénominateur,

qu on représentera par a; nommons — le quotient, — le reste ;

il vient

d’où Aa=PQ + R. (a)

B ne saurait être nul, sans quoi cette équation donnerait A<z = PQ,

relation qui prouve que P diviserait A a; or, P par hypothèse ne divise pas A; il ne divise pas non plus petit a qui est indépendant de x, tandis que P contient x; donc en vertu de la première subdivision de ce second cas , P ne divise pas AB , et R n’est pas nul.

On divise P par R, et opérant comme ci-dessus, on aura

un quotient — et un reste — ; on continue ensuite en prenant

toujours P pour dividende, et pour diviseur les numérateurs des restes successifs.

TU Qi Qi , Ri R; ,

Nommons — , — les quotients, — , .... — les restes:

on aura ainsi les égalités