BR , ' , . . BR .BR

— le sera ; en vertu de la seconde , si -p- est entier , -p-

BR

le sera , et ainsi de suite jusqu’à — Donc si AB est divisible

par B , il faut que BR; le soit; mais B ne l’est pas, par hypothèse ; Ri ne l’est pas parce qu’il est indépendant de x , dont P dépend au contraire; donc, encore en vertu du meme cas, BR; ne l’est pas. Par conséquent AB ne l’est pas non plus.

Si donc la proposition est vraie pour des fonctions entières de n lettres, elle l’est aussi pour des fonctions entières de n-f-1 lettres. Mais nous l’avons prouvée pourle cas où n — 1 ; donc elle est vraie pour n — <2, 3, etc.

Corollaire. Toute fonction entière et première P qui divise un produit A . B , C . D, etc., divise l’un des facteurs. Car si P ne divise ni A ni B, il ne divisera pas AB; ne divisant ni AB ni C, il ne divisera pas ABC, etc. -

PROPOSITION XIV. — THÉORÈME

Il n’y a qu’un seul système de fadeurs premiers qui puisse reproduire une fonction entière donnée.

Soient A, , ... Ara des facteurs premiers; supposons »

que leur produit puisse être égal à celui d’un second système de facteurs premiers a, , a,, a3, . . . aa.

Soienta:, , ,... x„ les lettrés principales. Supposons A, ordonné

par rapport à x , ; les coefficients de x, seront supposés ordonnés par rapport à x,; ceux de x , par rapport à x3 , etc.; enfin ceux de x par rapport à et si le premier terme de A, se présente de cette manière sous la forme Ma;,*1#,*’ ... x nous supposerons qu’on divise A, par M , et qu’on fasse de même des autres facteurs, de sorte que le premier terme de chaque facteur est ramené à la forme xf'xf* . . . x

Cela posé , on a , par hypothèse ,

A , Al, ... A(„ — ... rz„. *

Or la quantité première A,, divisant le premier membre et par suite le second, devra diviser un des facteurs de ce second