I.IVKE IV

membre. Supposons qu’elle divise a, ; je dis que A, sera égal à a,. En effet ces deux lecteurs sont tous les deux premiers absolus; c’est-à-dire que a, n’est divisible que par des quantités telles que ha,, h étant indépendant de x, , . . . (déf. 8); donc k,=ha,. Mais le coefficient du premier terme de A, est l’unité, de même que dans a, , de sorte que si on divise a, par A, on a pour quotient 1 ; donc A, = a,.

Supprimant dans l’équation (l) d’un côté A, , de l’autre a, , on aura

A, A3 ... Am — a,a3 ... a, , ,

on prouvera encore que A, trouve son égal dans le second membre, et ainsi de suite.

PROPOSITION XV. — THÉORÈME

Toute fonction entière D qui divise un produit AB et qui est première avec A , divise B.

Si D est un facteur premier, la proposition est démontrée (p. 13).

Supposons donc que D soit un produit de facteurs premiers, d, , d, , d3'. .. d, , et soit Q le quotient de AB par D; on aura

(1) AB = d,d,d3...d,.Q;

d,, qui est premier absolu, divisant AB, divisera A ou B (p. 13 , c.) Il ne saurait diviser A, sans quoi A et D auraient de commun le facteur d, , ce qui ne se peut pas , vu que D est premier avec A; donc d, divise B. Soit B^d.B,, B, étant le quotient de B par d,. L’équation (1) devient

AB ,d, = d,d,d3 ... d, . Q,

ou , divisant par d,

(2) AB ,=d,d3...d,Q.

On prouvera de même que d , divise B, , et si B, = d,B, , on prouvera encore que d3 divise B, , et ainsi de suite; de sorte que , nommant B3 , B4 . . . Bi les quotients successifs par d3,di . . . d, , on a les relations

AixltnnK.

âfio

B, — ^Bj

etc.

Multipliant, et simplifiant, on aura

B = dtd,d} . . . d, . B; = DB,.

Donc B est divisible par D.

PROPOSITION XVI. — THÉORÈME

Toute fonction entière À , divisible par plusieurs facteurs p, , p, ... pi , premiers 2 à 2 , l’est par leur produit p,p, . . . p;.

Puisque A est divisible par p, , on a A=p, . A, , A, étant le quotient.

Mais p, divisant A, divisera p, A,, et comme p , est premier avec plt il divisera A,; on aura donc A,=p„A,, A, étant le quotient.

De même p} divise A et par suite p, A, ; mais étant premier avec p, , il divisera A, ou son égal paA,; mais p3 est premier avec * pt ; donc il divise A, , et l’on a

A, —p3 A3, A3 étant le quotient.

On trouvera de même A3 —p^k^, etc.

Ai-, —pA, ,

A.j, etc., A;,, A;, étant les quotients successifs. Multipliant membreà membre toutes ces égalités depuis A=p, A, , et simplifiant, on a

\=p,p7p3Pi...p,. A;.

Donc A est divisible par le produit p,p, ... p,.

Définition 2. Le plus grand commun diviseur de plusieurs fonctions entières de n lettres est une fonction entière de ces mêmes lettres, fonction qui divise exactement les proposées, de façon que les quotients sont premiers entre eux.