LIVRE IV

Remarque. Il suit de là que si les fonctions proposées étaient décomposées en facteurs premiers , le plus grand commun diviseur se trouverait immédiatement; car tout facteur premier du plus grand commun diviseur devant diviser les fonctions données, un pareil facteur est un facteur premier commun. Par conséquent , si p est un facteur premier commun à ces différentes fonctions, et si l’on suppose qu’elles soient de la forme

p* . B , , ,/>*■+■’ B3 , etc. ,

B,, B,, ne renfermant pas p, le plus grand commun diviseur devra contenir px, sans quoi les quotients de ces fonctions divisées par ce plus grand commun diviseur contiendraient encore le facteur commun p, et ne seraient pas premiers entre eux.

Ainsi tout facteur premier commun aux différentes fonctions se trouvera dans le plus grand commun diviseur avec un exposant égal au plus'petit exposant dont il soit affecté dans ces fonctions. On peut donc dire que le plus grand commun diviseur de plusieurs fonctions est le produit de tous leurs facteurs communs , et que tout diviseur commun à ces fonctions divise leur plus grand commun diviseur , ce qui peut encore se prouver autrement.

PROPOSITION XVII. — THÉORÈME

On ne change pas le plus grand commun diviseur de deux fonctions entières, si l’ on multiplie ou que l’on divise l’une d’elle par un facteur premier avec l’autre.

Soient A, B les deux fonctions, D leur plus grand commun diviseur, À,, B, les quotients , de sorte que

A, , B, seront premiers entre eux.

Soit K une fonction première avec B, je dis que D est aussi le # plus grand commun diviseur de AK et B ; car on aura

AK = A,KD,B = B,D,

et les quotients A ,K et B, seront premiers entre eux. En effet aucun facteur premier de B, ne saurait diviser K, sans quoi ce facteur

ALGEBRE.

diviserait B et K qui sont premiers entre eux; de même aucun facteur premier de B, ne divise A, qui est premier avec B,. Donc aucun facteur de B, ne divise A,K; par suite ces deux quantités sont premières entre elles , et D est le plus grand commun diviseur de AK et B.

PROPOSITION XVIII. — PROBLEME

Trouver le plus grand commun diviseur de deux fonctions entières de x.

Les deux polynômes proposés peuvent renfermer comme coefficients de x, telles quantités qu’on voudra, numériques, littérales, rationnelles, irrationnelles, etc. S’il y a des dénominateurs , on peut réduire fes termes de l’un des polynômes au même dénominateur, et supprimer ce dénominateur. Car cela revient à multiplier ce polynôme par une expression première avec l’autre. Il est permis d’opérer de même sur l’autre polynôme. Si l’un des polynômes contient un facteur indépendant de x , on peut le supprimer, si l’on veut.

Soient A, A,, les deux polynômes ainsi préparés, et ordonnés par rapport à x. Supposons que A ne soit pas d’un degré inférieur à celui de A, , par rapport à x. Une fonction entière de a?, ne pouvant jamais être divisible (déf. 7) par une autre d’un degré supérieur, si A, divisait A, A, serait le plus grand commun diviseur. Mais si A, ne divise pas A, je dis que le plus grand commun diviseur de A et A, est le même que" celui de A, et du reste de la division. Remarquons que A et A, n’ayant point de dénominateurs, cependant il est possible que le quotient et le reste en aient; on pourra réduire tous les termes de ces deux derniers polynômes au même dénominateur : soit — le quotient,

— le reste, a étant le dénominateur, indépendant de x. On aura l’identité

Au — A, Q -f- R ;