LIVRE IV
soit D le plus grand commun diviseur de A , A, ; divisant cette dernière identité par D , nous aurons
A A, R fl'D=lT'Q+D-
Ici — Q, sont des fonctions entières de x; - est donc
aussi une fonction entière de x. D’ailleurs D étant le plus grand
commun diviseur de A et A,, les quotients —, — ' sont premiers
entre eux : il s ensuit que — et — sont aussi premiers entre eux :
car si — , - avaient un facteur commun ifjx, ce facteur diviserait
. Q et — ; donc il diviserait a . g; mais comme il est premier
avec a qui est indépendant de x, il diviserait — (p. 12); ainsi
— auraient le facteur iftx commun et ne seraient pas pre-
miers entre eux, ce qui est contraire à l'hypothèse faite sur D.
Donc le plus grand commun diviseur de A et A, est le même que celui de À, et R. Actuellement si R renferme un facteur indépendant de x , que je nommerai f, ce facteur sera premier avec A,. Donc on pourra diviser R par/; soit A, le quotient; la question est réduite à chercher le plus grand commun diviseur de A, et A,.
Remarquons ici que l’on peut éviter les dénominateurs au . quotient et par conséquent au reste. Car l’identité
Art = A,Q-(-R, ou Art = A,Q-t-A,/,
montre qu'il suffit pour cela de multiplier le dividende par un certain facteur a. Dans les exemples ci-dessous on verra comment ce multiplicateur se détermine. Quoi qu’il en soit, les raisonnements qui vont suivre ne supposent pas que ce facteur soit connu avant la division : on peut, si l’on veut, admettre que
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les divisions donnent des dénominateurs au quotient, et faire comme plus haut.
Divisons A, par Aa; soit a, un multiplicateur tel que A ,«, divisé par A,, donne un quotient entier Q, et un reste de degré moindre que le diviseur; supposons ce reste décomposé en deux facteurs, l’un f, indépendant de x, l’autre A, fonction de x ; on aura A,«, = AaQ,4-A
En vertu du raisonnement fait plus haut, le plus grand com mun diviseur de A, et A, est le même que celui de A, et A3- On divisera donc A, par A3, et l’on aura une identité telle que
Aaaa = A3Qa4-A4/a ,
Qa, A4, /„ ayant des significations analogues à celles de n, , Q,, A3, on continuera ces opérations, et comme les degrés des restes Aa/,A3/, , etc. , par rapport à x , vont en diminuant, au moins d’une unité, on arrivera finalement à un reste indépendant de x; soit A; le dividende, Ah-, le diviseur, Q; le quotient ,f )e reste de celte dernière division, de sorte que
Ai<Xi ■= A; -i-, Qi+/i.
Si/; est nul , le plus grand commun diviseur sera Ah-,* car le plus grand commun diviseur de A ét A, est le même que celui dç A, et A, ; celui-ci est le même que celui de A, et A3, etc. , et enfin que celui de A;, Ah-,. Mais si f est nul, on a Aiaj = AH-iQi» de sorte que A;-t-, divise A; a;, et par suite A;,\vu que a, est indépendant de x. Or si l’on divise Ai et Ah-, par Ah-, , les quo-
tients etl sont premiers entre eux; donc Ah-, est le plus grand
Ah-,
commun diviseur.
Si/! n’était pas nul , le plus grand commun diviseur de A, A, , serait le même que celui de Ah-, ,/î qui n’ayant de commun aucun facteur fonction de x , sont premiers entre eux : il en sera donc demême de A , A,.
Exemple 1er.
6a,” — 4x* — llx3 — 3xa — 3r — 1, et Â.v^-\-2x3 — 18x’+3x — 5. Si on divisait le premier polynôme par le second, on aurait
MVHB IV.
au quotient un coefficient fractionnaire; pour éviter cela il suffit de multiplier le dividende par un nombre tel que le produit de 6 par ce nombre soit divisible par 4 , ce qui peut se faire d’une infinité de manières; la plus simple consiste à multiplier ici le dividende par 2; car 2x6 est divisible par 4 , et en général à transformer le premier coefficient du dividende dans le plus petit multiple commun à ce coefficient et au premier coefficient du diviseur.
12a?5 — 8x< — 22x3 — 6x* — 6x — 2 4x4-f-2x3-18xa-h3x-5 i*r reste — 14x4-b32x3-15x’-+-9x 2 3x, —7
28ar» + 64x3. 30x*-f-18x 4 le Prem'er rc8tc donnerait aussi au
* quotient un coefficient fractionnaire:
a* reste. + 78x3 — 156ra -f-39x -39 ainsi on multiplie par a.
Ce reste, qui est de degré moindre que le diviseur contient le facteur 39 ; débarrassé de ce facteur, il devient 2x3 — 4x*-+-x— 1 , et si l’on divise le second polynôme donné par ce dernier , on trouve pour le dernier reste, zéro.
■+■ 10x3 — 20xa H- 5x — 6 ~2x-f-ô
Le plus grand commun diviseur est donc 2x3 — 4x3-f-x — 1
2e Exemple.
2x5 — x4 — 3x3+ 3xa+x— 2 et 3x4— 4x3— 2x* +4x— 1.
On multipliera le premier polynôme par 3 ,
6x5 — 3x4 — 9x3+9x’-(-3x — 6 3x4— 4r3— 2x’-|-4x— 1 i,r •**•*. 5x4 — 5x3-f-xa + 5x — 6 2x , 6
5x3-f-13xJ — 5x — 13
Ce reste va servir de diviseur; on multiplie par 5 le polynôme 3x4 — 4x3. .... qui va servir de dividende.
15x4 — 20x3 — 10xa-f-20x — 5 5x3H-13xa-5x- 13 i" re«te. — 59x3-j-5x*-+-69x — 5 3x , — 59
£ pars.) -ù9*3 X S+25xa+29ox-2Ô
reste. -f-792xa — 792
ALGEBRE.
Ce reste est divisible par 792, et se réduit à x’— *1 qui divise le reste de la division précédente , 6x3-f- 13x’ — 5x— 13; donc x* — 1 est le plus grand commun diviseur.
On trouvera de même que le plus grand commun diviseur des polynômes
x" -f- 6x® -+- 6*5 — 6-t'i — ISr3 — 3x’-|-8x-t-4 7.i6-f-30x5-f-30x4 — 24 x 3 — 45x’ — 6x-(-8 (dérivée du premier)
est x4+3x3+x’ — 3.r-f-2.
Remarque. Lorsqu’on divise un polynôme A par un autre A, , il peut arriver, que pour obtenir un reste de degré moindre que A,, on ait à faire plusieurs divisions partielles, et qu’on se trouve dans le cas de préparer chacun des dividendes partiels dans le but de n’avoir point de termes fractionnaires au quotient. Or, cela revient au même que de préparer d’un coup A, de façon que l’on arrive à un quotient entier et à un reste de degré moindre que A,. En effet, soit m le multiplicateur employé dans la première di- . vision partielle, q le terme du quotient, A' le reste ou second dividende partiel; soit m' le multiplicateur de ce second dividende, q‘ le terme du quotient; A" le reste ou troisième dividende partiel, m" son multiplicateur, et R le reste que, pour fixer les idées, je suppose de degré moindre que A; on aura
\lm'—\lq' -|-A"
A"m' — A,çf"-j~R.
Multipliant la première de ces égalités par m'm", la.seconde par m", la troisième par 1, et ajoutant, on aura
Amm'm"=A,
Cette égalité prouve que si l’on avait multiplié A par le produit mm'm", on aurait trouvé le même reste R; elle détermine aussi le quotient dont la formation est facile à saisir.
PROPOSITION XJX. — PROBLÈME.
Trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs fonctions entières A, , A, . . . A„, , A„.
