J. IVRE IV

Supposons qu’on sache trouver celui de A, , A, . . . A„, , et nommbns-le D; je dis que le plus grand commun diviseur de D et An sera celui de A, , A, ... A„ ,, A„.

En effet, soit A, — a,D, A, = aJ),.... An, = a^D, a, , a, .... a„— , seront premiers entre eux.

Soit D'ie plus grand commun diviseur deDet A„, ctD=d.D', An = a„D'; d et an seront premiers entre eux.

On aura

A, = «,d. D', A, ?=.a,d .D', ... An, = a„-,d . D', A„ =a„D . Si l’on divise ces polynômes par D', les quotients u, d , et {d , • • • ua — ,d, un

seront premiers entre eux. Car tout facteur qui divise aD, est premier avec d, vu que d l’est avec aB ; donc si une fonction entière pouvait diviser tous ces quotients , de ce qu’elle divise aa on conclurait qu’elle divise a,, n, ...an,, comme étant première avec d. Mais a,, a, sont premiers entre eux.

Donc , etc. Donc D' est le plus grand commun diviseur de A, , À, ... A».

Ainsi sachant trouver le plus grand commun diviseur de deux fonctions entières A,, A„ on saura trouver celui de trois, A, , A,, A3, par suite celui de quatre, etc.

PROPOSITION XX. — PROBLÈME

Trouver le multiple commun le plus simple de deux fondions entières A, B.

Soit D le plus grand commun diviseur de A, B; posons A = A'D, B = B'D; je dis que le plus simple multiple commun est A'B'D = AB' = A'B. En effet ce résultat est divisible par A et par B séparément. De plus , si l’on y supprime un facteur quelconque , il cessera d’être divisible par A ou par B, au moins. Car, soit. A' = A"K, divisons A'B par K, le quotient est A"B

ou A"B'D, qui, divisé par A, donne •r~~=r- ou — qui n’est pas

entier; car K , facteur de A', ne saurait diviser B' qui est pre-

Ai.nliBnE.

mier avec A '. Ainsi A"B'D n’est plus divisible par A. De même si on supprimait un facteur de B', le résultat ne serait pas divisible par B. Enfin supposons qu’on y supprime un facteur de D ,

soit â ce facteur : le multiple commun devient A 'B' ; divisé

par A , il devient — ; divisé par B , il donne — ; or A’, B', étant

premiers entre eux', il est impossible qu’un facteur â les divise tous les deux; donc une des quantités A, B, au moins ne divisera

pas A'B '5, Par conséquent A'B'D est le multiple commun le

plus simple.

Corollaire. Lorsqu’on saura chercher le plus grand commun diviseur D de deux polynômes A, B, on saura aussi trouver leur plus petit multiple commun. A cet effet on multiplie l’un

des deux polynômes A par le quotient — ; car A'B'D — A 'D . B '

PROPOSITION XXI. — PROBLÈME

Sachant trouver le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs fonctions entières de n lettres, trouver celui de deux fonctions entières de n+1 lettres.

Soient M , N , les deux fonctions données. On décomposera M en termes monômes par rapport aux lettres principales, et on cherchera le plus grand commun diviseur de ces termes monômes, ce qui peut se faire immédiatement , puisque leurs facteurs premiers sont en évidence : ainsi le plus grand commun diviseur de x,3x,* et x^x, est x,3x,. S’il y a des coefficients numériques entiers, on pourra aussi prendre leur plus grand commun diviseur : cela simplifie les calculs.

Soit a le plus grand commun diviseur monôme, des termes M

de M , M' le quotient —, de sorte que M = aM'. On ordonnera