I.IVRE IV. ÔpQ

M' par rapport à l’une des lettres principales; supposons que ce soit x. M' pourra être mis sous la forme

L*m+L,a5ra-'4- • • • ~HU„ ,

L, L, ... Lm étant des fonctions entières des n autres lettres.

On cherchera le plus grand commun diviseur de ces polynômes; nous le nommerons a', et représenterons par A le quotient de M' par a', ce qui donne M'=cc'A et M = aa'A. On remarquera 1° que M' n’admettant plus de facteur monôme, il en sera de même de A, et de a ; 2° que A n’admet plus aucun facteur indépendant de x (p. 18).

On décompose de même N en trois facteurs /î/9 A, , analogues à a- a , A.'

Ainsi on a M = aa'A, N = /Î/Î,A1.

Le plus grand commun diviseur, quel qu’il soit, pourra être décomposé de même, et ne pourra l’être que sous une seule forme (p. 14); représentons par â le produit de tous les facteurs monômes qu’il contient, par â le produit des facteurs polynômes indépendants de I, par D le produit de ceux qui contiennent x ; le plus grand commun diviseur sera dd' D.

Puisqu’il divise M et N, chacun de ses facteurs divise ces deux polynômes; or â qui est monôme, est premier avec a' A ; donc (p. 19) â divise a ; on reconnaît de même que d divise /?. En second lieu d' qui est polynôme et n’a aucun facteur monôme, est premier avec a ; il l’est avec A qui n’admet aucun facteur indépendant de x : donc (T divise a’; et de même il divise (f.

Enfin D qui n’admet aucun facteur, soit monôme, soit polynôme indépendant de a-, est premier avec au1; donc il divise A. Il divise de même A,.

*. .. , . a a A fi ft A, ,

Actuellement les quotients - . -7 . - et - . — . — devant être

premiers entre eux, il faudra que 7, ^ le soient, ç’est-à-dire

que ô soit le plus grand commun diviseur de a y (i ; de même il