LIVRE PREMIER

tient en omettant chacune de ces trois lettres à son tour. Donc dans les 15.4 produits, chaque produit est pris trois fois; le nombre des produits distincts est par suite

—t— OU -T-T- ou -

S’il s’agit de former les produits 2 à 2 de m lettres at , a2 . . . am, on multipliera ai par chacune de m — 1 autres lettres , . • • «m > ce qui donne m — 1 produits; fournit de même m — 1 produits, ainsi que chacune des m lettres; donc on a ni (m — 1) produits. Or, on prouvera comme ci-dessus qu’aucun produit ne manque, mais que chaque produit a été obtenu deux fois. Donc le nombre des produits distincts, de m lettres, 2 à 2 , est m (m — 1)

Pour obtenir les produits 3 à 3, on prend un produit de deux

lettres , a , «2 , on le multiplie successivement par chacune des

lettres a3 . . . . am , au nombre de m — 2 , ce qui donne les ni — 2

produits atana3, a,a2a4 • • • • ala2ami chaque produit de deux

facteurs fournit ainsi m — 2 produits de trois facteurs; or, il y a

■ - — - produits 2 a 2 ; donc on aura — - — - pro-

duits 3 à 3. On prouvera encore que ce nombre doit être

divisé par 3, et le nombre des produits différents, 3 à 3, est

On reconnaîtra de même que le nombre des produits 4 à 4 de m(m — 1) (m — 2) (ni — 3)

m lettres est

En général supposons formés les produits de la classe n — 1*; soit Pn, leur nombre, et soit PQ le nombre des produits de la

classe n. Soit o(<i2 ... , un produit de n — l facteurs; ceux

qui n’y entrent pas sont «n, a ... «m, au nombre de m — n-|-l ; car les facteurs af . .. «n) sont au nombre den— 1 ; le nombre

* C'est-à-dire les produits n— i à n— 1.

ALGEBRE.

total des lettres est m; donc si l’on en ôte n — 1 lettres, il en restera m — (n— l) ou m — «— (— 1 . A. la suite du produit at . . . an( , on mettra successivement chacune de ces m — n-f-1 lettres, ce qui donnera les produits

au nombre de m — n-f-1. Ainsi chaque produit de la classe n — 1 donne m—re-|-l produits de la classe n; mais le nombre des produits de la classe n — 1 est Pn ; donc tous ces produits fourniront des produits de la ne classe, au nombre de Pn . (m — /H-l)

et je dis qu’en opérant ainsi on ne laissera échapper aucun de ces produits de la ne classe, mais qu’on les aura obtenus tous n fois. Car soit d’abord donné un produit quelconque de n facteurs, a, a. ... rtn+3> je dis qu’il a été formé; en effet, il

commence par un produit de n — 1 facteurs, qui a été employé puisqu’on a pris tous ces produits; à la suite de ce produit on aura mis la lettre puisqu’on y a mis à leur tour toutes les lettres qui n’y entrent pas. Donc ce produit de la classe n a été formé. Ensuite , pour qu’un produit de n — 1 facteurs fournisse afa2 ... il faut et il suffit qu’il contienne de moins que

ce dernier, une des n lettres a{ ... aa ; ainsi on obtiendra tous les produits de n — 1 facteurs, capables de donner a 1oJ . «n|«n > en supprimant ici successivement chacune des n lettres, ce qui donne n produits de n — 1 lettres dont chacun donnera une fois ata2 •••«„• Donc chaque produit de la classe n a été formé

n fois , et

Remplaçant ici n successivement par n — 1 , n — 2, ... 3, 2, on formera les relations