I.IVHK IV
On reconnaît ici que — et sont premiers entre eux; car s’ils
avaient un facteur commun , cc facteur serait fonction de x , vu que ni A, , ni A, n’ont des facteurs indépendants de .r.Ce facteur
d’ailleurs diviserait —a, et comme il est premier avec a, par la raison qui vient d’être énoncée, il diviserait — ; ainsi ~ et ^ ne
seraient pas premiers entre eux. Donc le plus grand commun diviseur de A et A, est le même que celui de A, et A,.
On divisera maintenant A, par A,, et chaque reste par le suivant, en ayant soin 1° de préparer chaque dividende comme on a fait de A, 2° de supprimer dans chaque reste les facteurs indépendants de x, avant d’employer ce reste comme diviseur. Soient
a, rt; les multiplicateurs analogues à a; Q, Q, Q,
les quotients; A./, , A-/,.... Ai+,/, les restes dans lesquels/,,/,.... représentent les produits des facteurs indépendants de x : supposons Ai-f-, = t , de sorte que le reste Ah-,/ se réduise à/, et soit indépendant de x , ce qui finira par arriver, puisque les degrés de A,, A,, A5 ,.... vont en décroissant au moins d’une unité. On aura
(2) A.a.zz: A,Q, -f-A/,
(3) A,a,— AjQ„-f- Aj/m
etc
Ai«i— Ah-j.Qi -+-/.
On verra ici que le plus grand commun diviseur de A, et A, est
le même que celui de A, et A j, de A3 et A4 de A; et Aj+,;
si donc/ est nul, le plus grand commun diviseur est A;V, » si / n’est pas nul , A et A, sont premiers entre eux.
Cela posé, les p. 16 et 17 montrent comment on trouve le plus grand commun diviseur des fonctions d’une lettre; donc on saura trouver celui de deux fonctions entières de deux lettres , et en vertu de p. 17 , celui de plusieurs pareilles fonctions, etc. Exemple.
M = x~ (4y® — 4/ — 1 6y *+• 1 6yJ)-t-x6( — 4y'-+-4y'-4-l Gy1 — 1 6y’)-tar* (4y 1 — 1 6y3) H-*3( — 4y 'H-i6y’)
N = xs(6 y6 — 6y 5 — 1 2y') -(-je/ — 6y' -(-6/*-)- 1 2 y3) -fx3(6y"' — 12yi)-f-ar,( — 6yA-j- 1 2yr)
ALGEBRE.
On trouve a —4x‘3y'>, fi~6xy3, d’où â — 2jr’y\
Ensuite M'=r.r '•(y* — y3 4y’+ 4y) -f-jr3( — .yM-y’-f- 4y — 4) -+- ^(t3— 4y)— r’+4
Le plus grand commun diviseur des coefficients de x dans M' est y1 — 4 , celui des coefficients de x dans N' est de y — 2 ; ainsi
ci— y'1 — 4 , ft'=y — 2, d’où d'—y — 2.
Delà A ~x!,(y'' — y)-|-.r3( — y-{-i)-\-xy — 1
A,— r3(j-’ 4~y)H-*’(— y— \)-+-xy— 1.
On divise A par A,; mais comme le premier coefficient de A n’est pas divisible par le premier coefficient du diviseur, on cherche le plus simple multiple commun à ces deux coefficients qui peuvent se mettre sous la forme y(y — 1) , y(y+l); le plus simple multiple commun est donc y(y— - (— 1); par conséquent on multipliera A par y+1 , en indiquant l’opération pour le premier terme
®4y(lM)(y+l)-*-*3(— yS-t-l )-Kc(yg~Hy)--y-l|x3(ÿ-M)y-l-x?(-;/-l)-H:ry-1 y2-t-y)+x(y!-4-2y— 1)— y— 1 |x(y— l)
Cette première division donne au quotient x(y — 1), et pour reste un polynôme de degré moindre que le diviseur. Ce reste, d’ailleurs, ne renferme point de facteur indépendant de x; c’est ce qu’on reconnaît sans chercher le plus grand commun diviseur des coefficients.
En effet, ce facteur, s’il existait, ne pourrait être que le dernier coefficient y-|-l qui est une quantité première; mais pour que y- f-1 divisât les autres coefficients, il faudrait (p. 9) que y— — 1 les annulât, ce qui n’est pas. On divise donc A, par ce reste; le premier coefficient du reste esty( — y-f- 1); ainsi on multipliera d’abord A, par —y-f- 1.
x3y(y+l)(-ÿ+l)+»-(y--D+x(-y?-+-y)+y— lia^yf— y+l)-Kcfÿ3-H2y-l)-ÿ- 1 -+-x5(— y3— 2y2— y;-t-x,3y-t-i;-(-y— 1 |x y-t-1) , — y-— 2y— 1
Le premier terme de ce reste a pour coefficient-f-y( — y’ — 2 y — 1 ) ; on multiplie donc par — y-f-1 , on a
^’r(— 7’— 1 ) (—7+ 1 )+•*(— 37'+27+ 1 ) — 7’+27— 1 ; et il reste ■x(y^-4y3*^-y, -f-2y) — T1 — 4y* — y — 2
