LIVRE IV

Le premier terme de ce reste se met sous la forme

xy(j3 -H/’ -h/ +2 ;

le facteur ^*34-4j-’-|-j-|-2 est donc commun ; on le supprime, et ce reste devient xy — 1; on divise le dernier diviseur par ce binôme

*>(—7+0 -M(++2j— 1)— /— 1 xy— 1

Cette division donne pour reste zéro. Donc xy — 1=D est le plus grand commun diviseur de A., A,, et dd'D ou 2x’ja (y — 2) (xy — 0 est celui de M et N.

Remarque 1. La p. 17 montre comment on trouvera le plus grand commun diviseur de plusieurs polynômes.

Remarque 2. Le plus grand commun diviseur de deux fonctions entières est une fonction dont l’expression ne dépend nullement de la marche qu’on suit pour la trouver. Car chacune des fonctions données ne pouvant se décomposer en facteurs premiers que d’une manière , le produit de tous les facteurs premiers communs à ces deux fonctions est unique.

Remarque 3. 1° Si au lieu de simplifier M et N, on opérait immédiatement sur ces deux polynômes; si de plus on préparait les dividendes sans simplifier les restes et qu’on arrivât à un reste nul , le dernier diviseur serait le produit du plus grand commun diviseur multiplié par un facteur indépendant de a?. En effet, soit a le multiplicateur auxiliaire , Q le quotient , R le reste. On a

Ma = NQ+R.

Tout polynôme qui divise M et N , divise R; soit E . F un polynôme qui divise R et N, F ne renfermant aucun facteur indépendant de;r,E n’étant qu’un produit de facteurs indépendants de x > F divisant N et R divisera Mu , et comme il est premier avec a il divise M; mais E, qui divise également Ma, n’est peut-être pas premier avec a; on ne peut donc pas conclure qu’il divise M. Ainsi le plus grand commun diviseur de N et R peut différer de celui de M et N par un facteur indépendant de x , que celui-là contient de plus.

AUiknnu.

2° On peut aussi opérer par quotients fractionnaires sur M et N , sans aucune espèce de préparation ; le diviseur qui précède le reste nul , renfermera exclusivement tous les facteurs du plus grand commun diviseur qui contiennent x ; quant aux facteurs indépendants de x , le diviseur peut en renfermer d’étrangers , il peut aussi ne pas contenir tous ceux qui sont communs à M et N. Car dans ce cas on a une relation de la forme

Soit D' le produit de tous les facteurs fonctions de x, dans le plus grand commun diviseur, sans aucun facteur indépendant de x ; on aura

r-, — . - étant entiers par rapport a x, — le sera; de plus I)' D' a a I)

— , — n’admettront plus aucun facteur fonction de x. Ainsi D' aD' 1

D' sera le produit de tous les facteurs fonctions de a:, qui di-

« R visent N et — .

Il n’en sera pas ainsi des facteurs indépendants de x; car l’équation (a) ne permet pas de conclure que tout facteur pareil

qui divise M et N divise R , vu que — n’est pas entier par rap-

port aux lettres autres que x. De même les facteurs de celte espèce qui divisent N et R, ne divisent pas nécessairement M.

3° Si l’on opère sur A et A, sans aucune préparation , le dernier diviseur, réduit au même dénominateur s’il y a lieu, puis débarrassé de ce dénominateur et des facteurs indépendants de x , sera le plus grand commun diviseur de A et A,.

Corollaire. Si les polynômes dont on cherche le plus grand commun diviseur, n’ont que des coefficients rationnels, il en sera de même du plus grand commun diviseur. Car, pour arriver au plus grand commun diviseur, on ne combine les coefficients des polynômes que par addition , soustraction multiplication et division.