LIVRE IV

PROPOSITION XXII. — THÉORÈME

Toute équation à coefficients réels qui a une racine imaginaire a , en a une seconde a — 0^-1.

Soit fa — 0 l’équation donnée; /(« + O est de la

forme P-f-Q/îl/ — 1 (p. 2, c. 1) et f{u — /? y — l) de la forme P— Q/9»7— 1,P et Q étant réels et les mêmes de part et d’autre. Or si f[a 4-/9 P7 — l) est nul, il faut que P-f — 1 le soit» ce qui exige que P et Q soient nuis , vu que /? ne l’est pas. Mais si P et Q sont nuis , J' (a — P^~- O l’est aussi. Donc si u+fi ^ — 1 est racine de fa — 0, a — fi \/ — \ l’est aussi.

PROPOSITION XXIII. — THÉORÈME

Dans toute équation à coefficients réels, les racines imaginaires, s’il y en a , sont en nombre pair.

Car si l’équation fx=0 a une racine imaginaire a,-\rfi,y — 1 , elle en a une seconde a, — f), y — t.

Donc/# est divisible par le produit

(#— a,— fi, — l) (#— c e,+/ît y — 0 = (®— a,y-h(i\

(p. 9 et 13).

Or le quotient de fa par celte expression aura encore ses coefficients réels; soit/,# ce quotient, on a

Si l’équation f,x=0 a une racine imaginaire a,-\-(i, y — 1 , elle en a une seconde a% — fi,y — 1 ; donc /,# est divisible par (# — a,)’-l-/9\ , et on peut poser

Supposons qu’on ait de même

etc.

/,# —fx { }

ai.g1:hre.

Supposons que fx = 0 n’ait pas de racines imaginaires, ce qui aura lieu au plus tard, quand fx sera du degré 1 ou du degré 0. Multipliant membre à membre les équations précédentes depuis fx — etc., on trouve

fx= [(*— «,)’-)-/?,’] [(a: -«,)’+/?,’] ...

Pour annuler ce produit , il faut et il suffit que l’on annule l’un quelconque des facteurs, ce qui donne

x — a,±(i, V' — 1 x — u,±fi, b7 — 1

x — — 1 etc., fx — (S,

et puisque cette dernière n’a pas de racines imaginaires, l’équation/a: = 0 , a ses racines imaginaires en nombre pair. De plus ces racines sont deux à deux de la forme a±/9 V' — 1 , formant ainsi des couples de racines qu’on nomme conjuguées.

Corollaire 1. Toute équation de degré impair à coefficients réels, ayant ses racines en nombre impair, et les racines imaginaires en nombre pair, a ses racines réelles en nombre impair. Une pareille équation a donc au moins une racine réelle.

Corollaire 2. Toute équation de degré pair à coefficients réels a ses racines réelles en nombre pair ou nul.

Corollaire 3. Tout polynôme à coefficients réels est un produit de facteurs réels du premier et du second degré. Car on a prouvé que

fx— [(x— a,)’-!-/?,1] etc. ... xfx;

et si fiX n’est pas du degré zéro , il est un produit de facteurs réels du premier degré.

PROPOSITION XXIV. — THÉORÈME

Dans toute équation de la forme

fx = x'"— j— p , xm - ' -f-p lX'"- ’+p jXm- 3+ . . . +p.n- >x-hpm = 0 , le coefficient du second ternie , pris en signe contraire, est égal

uvbe iv.

à la 'somme des racines ; le coefficient du troisième terme est égal à la somme des produits 2 à 2 des racines; le coefficient, du quatrième terme pris en signe contraire est égal à la somme de leurs produits 3 rt 3, etc. ; en général le coefficient du ternie de rang n-|-l , est égal à la somme des produits n à n des racines changées de signe ... ; le dernier terme pIU est égal au produit des racines changées de signe.

Car fx se décompose sous la forme (p. 10)

(x—a,) (x—a,) ... (x—am),.

de sorte que les racines sont a,, a, . . . am , et réciproquement , si a,, a, ... am sont les racines, fx se décomposera sous cette forme, sans quoi il y aurait des racines autres que a, , a, ... am.

On aura donc l’identité

x'"-\-p . jr 1 -\-p,x'n - . . . -+-puxm-a- 1- . . . =

( x — a,) (x — a,) ... ( x — am).

Or, on a prouvé (1. 1, p. 12) que dans un pareil produit le terme de rang n-(- 1 est le produit de xm~ ", par la somme des produits n à n des seconds termes — a , , — a, . . . — am , c’est-à-dire par la somme des produits n à n des racines changées de signe; donc />„ est égal à cette somme.

. Si n est pair , on peut changer les signes, de tous les facteurs , et p„ est égal à la somme des produits n à n des racines; si n est impair, en changeant les signes des facteurs, on change ceux des produits ; donc c’est alors — p„ qui est égal à cette somme.

Ainsi — />, = a. -f- a, + . . . + am

pi — a , û, - f- ... am — , am

etc.

± pm = a, a, a3 ... a„, ; le signe H- a lieu si m est pair, le signe — si m est impair.

Corollaire 1. Former urne équation dont les racines sont données. Le degré de l’équation est égal au nombre des racines (p. 11). On changera les signes des racines et on fera la somme, la somme des produits 2 à 2 , la somme des produits 3 à 3 , etc.,

.u.cknRE.

cl enfin le produit de ces racines changées de signe, ce qui donnera les coefficients de l’équation.

Par exemple, si les racines sont — 3, +2, — 4, — 5;, on les change de signe et l’on a +3, — 2 ,+4 ,-+-5.

La somme est +3 —2+4+5 = 10.

La somme des produits 2 à 2,

La somme des produits 3 à 3 ,

Le produit 3 . ( — 2) .4.5= — 120.

Et comme il y a 4 racines, l’équation est du quatrième degré; donc elle est a^+10.r3+23;r’ — 34a: — 120 = 0.

Corollaire 2. Le coefficient du second terme, pris en signe contraire, étant égal à la somme des racines, si ce second terme manque, on en conclura que la somme des racines est nulle, et réciproquement. On peut toujours transformer une équation en une autre privée du second terme. Car soit xm-\-p,xm— ' +p,xm— ’+ . . . +p,„ = 0 l’équation , a, , a, . . . am ses racines ; leur somme est — p,; or, si de chaque racine on retranche la mc