IVBK IV

produit qu’on déduit d efx,

en remplaçant *x par/ -; donc

l’équation J‘ (y — —1=0 sera privée du second terme, ce qu’on peut vérifier en développant J ^ d’après la pro-

position 2.

Corollaire 3. Le dernier terme pm est le produit des racines changées de signe; mais pour qu’un produit soit nul, il faut et il suffit qu’un des facteurs le soit. Donc, pour que le dernier terme soit nul, il faut et il suffit qu’une des racines le soit. Si Ara— , est aussi nul, il y a 2 racines nulles, etc.

Corollaire 4. Une équation dont toutes les racines sont réelles et positives, a ses termes alternativement positifs et négatifs. Car , si a, , a, , a, . . . am sont réels et positifs, — a, , — a, ... — am , qui est la valeur de p, , est négatif; a, a3-|-...-|-am,ain,

qui est la valeur de p , est positif; — a,a^a3 — a,a,a.-t — etc., ou p3 est négatif, et ainsi de suite.

Réciproquement, une équation complète qui a ses termes alternativement positifs et négatifs, n’a point de racines négatives. Car soit l’équation .r"‘ — axm~ '-{-bx'a~ 1 — cxm~3-+- , etc., dt«=:0, a, b, c, etc., étant des nombres absolus; si l’on remplace x par un nombre négatif — a, de deux choses l’une, ou m est pair, ou il est impair. Si m est pair, xm devient ctm ; mais dans ce cas m — 1 est impair et — b rm— 1 devient -+-bam~‘ ; on reconnaîtra de même que tous les termes du premier membre deviennent positifs : donc leur somme ne saurait être nulle. Au contraire si m est impair, xm devient — am, — bxm—' devient — bam—‘ ; tous les termes du premier membre deviennent négatifs, et leur somme ne saurait non plus être nulle.

Corollaire 5. Une équation qui a toutes ses racines réelles et négatives, a tous ses termes positifs. Car les racines changées de signe deviendront positives; les sommes des produits 2 à 2, 3 à 3, etc., de ces racines ainsi changées de signes, seront positives. Donc etc.

Réciproquement une équation dont tous les termes sont positifs, n’a point de racines positives.

ALGEBRE.

Corollaire 6. Une équation étant donnée, pour en former une seconde dont les racines soient respectivement égales et de signes contraires à celles de la première, il suffit de changer dans la première, supposée complète, les signes des termes de rang pair. Car soit l’équation donnée

fx = ... -hpm = 0.

Soient a,, a a, ... am ses racines; soit l’équation cherchée

*-hp'3xm-3-+- . . . -+-p'm = 0 , ses racines sont — a , , — a, , — a3 ... — am.

Or, on a P< = — a> — «a ••• — -

et p\ = -f-a,4-aa ... donc p\ — —

On a ensuite p, — a,a1-\-...-j-am—,am

p\ — a,a,-+- ... -f-fla,— donc p\—p,.

On prouvera de même quep'3= — p3, p'^zzzp^, etc., de sorte que la transformée revient à :

*m— p,Xm-'-hp*Xm-1— p3Xm ~ 3+ . . . ±pm = 0.

Autrement : L’équation donnée étant

fx — (x — a,) (x — àa) . . . (x — am) — 0 la transformée sera (x-f-a,) (x-|-a„) ... (x-f-a,„) zs 0.

Or, si dans fx on remplace x par — x, on a

/(*) = (— x— a,) (— x— a,) ... (— x— am)

=± (x-+-a.) (x-Hc) . . . (x+am).

Ainsi l’équation cherchée est/( — x) = 0. Or, en remplaçant x par — x dans fx, on change les signes des termes de degré impair; si l’équation èst de degré pair, ces termes sont ceux de rang pair; si l’équation est de degré impair, ce sont au contraire ceux de rang impair; mais dans ce. cas, on peut changer les signes de tous les termes , et en définitif, il n’y a que ceux de rang pair qui auront changé de signe.

Corollaire 7. Connaissant toutes les racines d’une équation ,