I.IVRE IV
excepté une, on pourra trouver celle-ci en relrancbant de — p , , la somme des racines connues; car — p, est la somme de toutes les racines.
S’il y a deux racines inconnues , on peut en trouver la somme en retranchant de — p, la somme des racines connues; on peut aussi trouver le produit des 2 racines inconnues, en divisant pm par le produit des racines connues, changées de signe, puisque pm est le produit des racines changées de signe. Connaissant ainsi la somme et le produit des deux racines inconnues , on trouvera ces racines au moyen d’une équation du second degré (I. 2, p. 31).
En général , si l’on connaît plusieurs racines a, , a, etc. a„ d’une équation fx = 0, on trouvera toutes les autres en divisant fx par ( x — a,) ( x — a,) ... ( ’x — a„), et égalant à zéro le quotient, ce qui fournira une équation dont les racines sont les autres racines de fx — 0.
Corollaire 8. Si dans A.r"’-(-A,.rm— '-f- . . . +A„, = 0, le coefficient A est infiniment petit, il y a une racine infiniment grande.
Car soit x—~; on aura kmym+ ... -f-A,y+A = 0; or,d:^
est le produit des racines; si aucune racine n’était infini-
ment petite, ±— serait fini. Donc il y a une valeur dey* infi-
Am
niment petite, et comme y- = - , il y a une valeur de x infinie.
Par rapport aux autres racines, on a A,#”- .... -f-Am^O. Si A, est aussi infiniment petit, il y a une seconde racine infinie.
PROPOSITION XXV. — THÉORÈME
Les relations qui existent entre les coefficients et les racines d’une équation ne peuvent déterminer ces racines sans le secours de l’équation même.
Soit l’équation arm-(-p1a;ni— ‘-f-p’x”— ’-f- ... +pm— ,ar-(-pm = 0; soient a, ... am les racines supposées inconnues. Les relations dont il s’agit, sont :
Aj.fi k r n k .
... ■+-nm-lnm=p,
f/ , — 1 — ... = — pi
etc.
«,«,«} ... am-,am=±pm.
Supposons que par un moyen quelconque on soit parvenu à déduire de ces équations (l) une équation qui ne renferme que a, ; soit tpa, 0, celte équation. Si,, au lieu d’opérer sur a, , on opère sur a,, les calculs ne seront changés qu’en ce que partout a, sera remplacé par puisque les équations (l) sont symétriques par rapport à toutes les racine^ prises 2 à 2 ; donc (1. 2, p. 10) l’équation qui donne «, sera (pa,= 0; de même la racine a3 sera donnée par cpa3 — 0 , etc. Donc enfin l’équation (pa, =0 qui donne une des racines, les donne toutes; par conséquent, cette équation, si elle ne renferme aucun facteur superflu, ne saurait être autre que/«, = 0 ou/.r:=0, puisque ses racines sont celles de/a; = 0.
Voici comment on traite les équations (1) pour trouver l’équation qui donne a,.
Représentons la somme ••• par X,;
la somme des produits 2 à 2 de ces m — 1 racines par X,; etc. la somme de leurs produits n à n par X„;
leur produit par Xm— ,.
— p sera égal à 1— X, , et la première équation (1) devient
«,+X, = — p, ; la valeur de p, se compose de deux parties : parmi les produits 2 à 2, les uns contiennent a,, les autres ne le contiennent pas; la somme de ceux qui contiennent a, ne peut être autre que a,(a,-|-a3 ... H-am), ou a.X,; ceux qui ne contiennent pas a, forment la somme des produits 2 à 2 de a3 ... am, c’est-à-dire X,; donc a,X,-\-X, = pt.
On trouve de même «,X„— ,-j-Xn —± />„ .
etc.
• n,Xm — i f~'Xm — i — J p„, — . ,
d’ailleurs a,a% ... nm = «lXm, ; donc a,Xm—l = ±pm.
Ainsi, pour éliminer a,, a3, etc., am entre les équations (I), il sulïit d’éliminer X,, X, ... Xm t, entre les suivantes :
Livni: iv.
fl.X.+X, — p ,
«iX,H-X3 — — j><
«.Xn,4-X„=±^„ •
^iXn“f~Xn^-i — -t-pn-t-i
etc.
^.Xnl — 3 | Xm — i L Pm — i
^ i X ni — '| h pm
Or les quantités à éliminer ne se trouvent ici qu au premier degré; chacune d’elles n’entre que dans deux équations consécutifs, dans l’une avec le coefficient -+-1 , dans l’autre avec le coefficient a. On multipliera donc la première de ces équations par — a,m~ ' , la seconde par % la troisième par — a,m~3,
et la nc par la suivante par +«im— n—1 , l’avant-der-
nière par ±a,‘ , la dernière par +a,° , et l’on ajoutera ; il vient — a,' m=-i-plalm-‘+p,a/a-*-p-...-+-paa,"‘~°-\- etc. ou transposant, /«, =0.
Définition 1 2. Une limite supérieure des racines positives d’une équation est un nombre plus grand que la plus grande racine positive. Par conséquent cette limite est une indéterminée : car depuis la plus grande racine positive jusqu’à l’infini, tous les nombres peuvent être pris pour limite.
Définition 13. Une limite inférieure des racines positives d’une équation est un nombre positif plus petit que la plus petite racine positive. Cette limite est aussi indéterminée.
Définition 14. Une limite numériquement supérieure des racines négatives d’une équation est nombre compris entre — oo , et la racine négative la plus rapprochée de — oo .
Définition 15. Une limite numériquement inférieure des racines négatives est un nombre compris entre zéro et la racine négative la plus rapprochée de zéro.
Remarque 1. Les deux limites supérieures se nomment aussi les deux limites extrêmes.
Remarque 2. Dans ce qui suit il ne sera question que d’équations à coefficients réels , à moins d’avis contraire.
PROPOSITION \W1. — THÉORÈME
Toute, limite supérieure des racines positives d'une équation fxrzO, substituée à la place de x rend fx positif; réciproquement tout nombre positif K qui rend fx positif, et qui est tel que tout autre nombre plus grand rend aussi fx positif, est une limite supérieure des racines positives de l’équation fx = 0.
En effet , soient a, , a, . . . a„ les racines positives de l’équation , le produit <px — (x—a,) (x— a,) ... (x—a„) sera rendu positif, si l’on met pour x un nombre positif plus grand que la plus grande des racines a,, a, ... a„.
Soient — b, , — b, . . . — bn , les racines négatives ; le produit (p,. x — (.r+A,) (.r+A,) ... (x+Anl) est rendu positif par la substitution de toute valeur positive à la place de x.
Enfin soient a,±/9, ^ — 1 , — 1, etc., les racines
imaginaires de l’équation ; le produit
(p2x= [(.r— 1-^,’] [(x— «,)*+/?,’], etc.
devient également positif par toute valeur positive mise pour x.
Mais fx — rpx . tp,x . rp,x. Donc tout nombre plus grand que la plus grande racine , mis pour x , rend fx positif.
Réciproquement si, en faisant varier x depuis K jusqu’à +oo , on trouve que fx est toujours positif, on peut conclure que, de K à +oo , il n’y a aucun nombre qui annule fx; donc s’il existe des nombres qui annulcnt/r , ces nombres sont plus petits que K, c’est-à-dire que les racines réeïlcs de l’équation fx = 0 sont moihdres que K. Donc K est une limite supérieure.
Corollaire. Soit C le plus grand des modules des coefficients de l’équation ramenée à la forme .r"+ , etc., = 0 ; il est prouvé (p. 3 , c.) que si l’on fait varier x depuis C+l jusqu'à +oo ,fx reste positif. Donc C+l est une limite supérieure des racines positives de fx = 0. Les propositions suivantes donnent dans certains cas des déterminations plus simples pour cette limite.
