VHK IV
PROPOSITION XXVII. — THÉORÈME
Si N est le plus grand des modules des coefficients négatifs de l’équation x"1-)- ... =0, N— f-1 sera une limite supérieure des racines positives ; 'et si n est la différence entre l’exposant du premier terme positif et celui du premier terme négatif de
l’équation, sera encore une limite supérieure.
En effet 1% il est prouvé que si un nombre mis pour x rend le premier terme plus grand que la somme des modules des termes négatifs, ce nombre et tout autre plus grand, rend fx positif (p. 4); donc ce même nombre est une limite. Or la somme des termes négatifs , pris en valeur absolue, n’est jamais supérieure à
Nxm-'+N jc™ -■>! . . .
Ainsi il suffit de rendre
xm > Njcd,-,+Nx'”-,+ . . . H-Nar-f-N.
En raisonnant'comme à la prop. 3 , on trouve x ^ N— t-
2° Supposons que le premier terme négatif soit axm— \ la somme des valeurs absolues des termes négatifs ne surpassera pas
Nxra— M-N-r'”— "-'-f- . . . -t-Nar-HV.
Ainsi il suffit de rendre
xm^> Nxm-"4-Nxm-"-,+ ... -+-N*h-N.
Divisons les deux membres par xm, il vient
xa
xm ’
supposons x 1 ; cette inégalité sera satisfaite à fortiori, si on rend 1 plus grand que la limite de la somme des termes de la progression infinie
!r“ + xa+' ' ’ ‘
limite qui est
386 algLbre.
et à fortiori encore si on rend 1 égal ou supérieur à
etpourcela ilsuffitque(.r — 1)"^ N d’où x ^ l+I^N.
Remarque. On peut dans plusieurs cas déterminer des limites plus simples.
1° Si tous les exposants dear sont multiples d’un même nombre. Soit l’équation xmcl-+- . .. — axi.m— n)*± etc. = 0; supposons que — «*(”-")» soit le premier terme négatif; la différence entre ma et (m — n)d étant na, N ayant la même signification que plus haut, la limite est
L=l-fVN.
Mais si l’on pose x*=y, on trouve (ar*)m ou (x*)m— ou x*(m~') — ym~~' , etc. , (x*)"—n ou *(“—)* substituant ces valeurs dans l’équation donnée, on la transforme en
ym+ etc. — aym D+ ... = 0,
le premier terme négatif est ici — aym~a, et les coefficients n’ayant pas changé, cette équation a pour limite supérieure
l+l/N; ainsi
, J, ou X* 1+ ,
d’où x
quantité que nous nommerons L'.
Voilà donc une seconde détermination de la limite, et je dis que celte valeur est moindre que L. En effet
