LIVRE IV
se compose de a+1 termes positifs (I. 1 , p. 28), dont le premier est 1* ou 1, et le dernier
tandis que L“
ou i^N, c’est-à-dire que les deux termes extrêmes de L* valent ensemble L'*; donc
L“>L* et L>L’.
1er Ex. fx — x5— 7 x'*— 6xJ x’— 12x+24 = 0.
On a C+l = 25, N+l = 13.
Le second terme étant négatif, la détermination 1 + k^N ne donne pas autre chose que N+l.
2' Ex. 2x6+27x'+ 1 4 x 1 — 3r ’ — 3 4x+ 4 8 = 0.
Ici on divise d’abord par 2, et l’on a N = — = 17.
Ensuite la différence entre l’exposant 6 du premier terme et l’exposant 2 du premier terme négatif est 4 ; donc n — 4, et
Tout nombre plus grand étant aussi limite, on peut prendre 1+3 ou 4.
3e Ex. x*+24x6+6x*— 156x’— 39 = 0.
N = 156, n = 8-2= 6, et 1+l/N = 1+^156, en nombres entiers, 4.
Mais les exposants de x sont multiples de 2; on peut donc faire x’ —y, et l’on a
y 4+24ji+6/’ 1 56r — 39 = 0.
On fera n= 3 , N= 166 , d’où y < t+1^156 <Y
ALCkBnE.
Donc a? 1 <^7 et x <^1^7 3.
Dans l’équation a:G-|-8a:4— 1 3a:1 — 5=0, les deux détermi-
net ■ / n
nations 1-+- l//N et V l-f-'v N, se confondent, en nombres entiers.
. 2° Il y a encore lieu à simplifier la détermination de la limite supérieure , si le premier membre de l’équation peut être regardé comme la somme de plusieurs polynômes ordonnés, commençant chacun par un terme positif, et fournissant pour N+l , ou
l-l-l'^N des valeurs plus simples que fx lui-même. Telle est l’équation
fx = x* — 2a?- — a^-j-SOa?3 — 40a:* — 80a:3 — 30a:’-f-40a? — 36 = 0.
On décomposera fx dans les trois parties a?8 — 2a?? — x6, 80a?s — 40a?'* — 80a:3 — 30a?1, 40a: — 36. Or la première est rendue
gQ
positive, si x ^ 2-4-1 ou 3; la seconde, si x ^ 1-f- — ou
la troisième, si x — . Donc x 3 rend fx positif, et 3 est
une limite, tandis que/r lui-même donne N— |— 1 — 80-f-l = 81.
Cette décomposition réussit surtout, si à chaque terme négatif il répond au moins un terme positif de degré plus élevé, comme dans l’équation
fx = a:6-+-29a:5-)-38ari — 4a:3 — 56a?1 — 30a:-|-64 = 0.
On décompose ainsi
(jr6— 4x3)-t-(29a:5— 56a:1)-f-(38a:*-30.r)-(-64 = 0 ou a?3 (a;3— 4) 4- 29a?1 ^a?3— ^j+38a:^a:3— -f 64 = 0.
Or la première partie devient positive , si a?3^> 4
ou a?
la deuxième
• 66 si a?3 > —
