VUE IV
la quatrième est positive.
Donc x ^ 2 rend positives toutes les parties donc/r est la somme, et 2 est une limite supérieure.
On trouve ici N-+-1 = 57 , 1-1- V' N = 56 ... ou 5,
la troisième partie devient positive si x* )> — ou ,x
PROPOSITION XXVIII. — THÉORÈME
Tout nombre qui rend positives fx et ses dérivées , est une limite supérieure des racines positives de fx = 0. (Méthode de Newton).
Soit d un nombre tel, que fd, fd, fd... fM~'d, soient positives ,f"'d l’est aussi, vu que f"x est un nombre indépendant de x.
On a f(d+r)=fd+yfd+Ç .J"d+...+r 2 ^
Or tous les coefficients de ce développement sont positifs; donc si l’on y fait varier y de 0 à +X ,/(d-f-j) sera toujours positif. Mais faire varier y de 0 à -t-x> dans f(d-+-f) , c’est faire varier x de d à -+-» dans fx , et puisque celte fonction reste positive, d est une limite supérieure d efx = 0 (p. 26).
Exemple.
fx = a;4— f-7 je3 — 2x’ — 24x — 36 =0 ; on a ici \-\-V' N =7* fx = 4xM-21x’ — 4x — 24
La dernière est rendue positive par x ^ 0.
AUikBRK.
- Ÿ".x n’est pas rendu positif par x = 0 , mais par x = 1.
Donc x t=. 1 rendant positive la fonction f'x et ses dérivées f"!x , f""x, tout nombre )> 1 , rendra f'x positive.
f'x n’est pas rendue positive par x= 1 ; on essaye donc x— 2 ,
qui la rend positive. Mais on sait que tout nombre 1 rend
f'x et ses dérivées positives; donc a? = 2 rendant positive fx et ses dérivées, tout nombre ^>2, jouira de la même propriété.
fx devient négative pourx = 2; mais x — Z la rend positive, elle et ses dérivées. On voit que celte limite 3 est plus simple
que celle qu’on a trouvée au moyen de i-\V N.
Remarque. Toutes les fois que le nombre qui rend positives fx , f'x , etc., rend fx négative, on est certain de trouver le nombre entier le plus simple qui puisse être limite supérieure. Car tout nombre supérieur à la plus grande racine, rendant^x positive (p. 26), tant que/x sera négative, les nombres mis pour x seront moindres que cette plus grande racine. Or, on n’augmente ces nombres que d’une unité à chaque substitution. Donc on arrivera à deux nombres entiers k, /r-f-1 , tels que fk<fO , /(/r-|-ï ))>0 ; k sera inférieur et /r-f-1 supérieur à la plus grande racine; ainsi fr-f-l sera la limite supérieure la plus simple, en nombres entiers. Il est entendu que l’on doit être certain que k-+-l rend les dérivées positives, ce qui a lieu, si l’on opère comme on a fait ci-dessus, en commençant par la dérivée qui est du premier degré en x.
PROPOSITION XXIX. — PROBLEME
Déterminer la limite inférieure des racines positives, ainsi que les deux limites des racines négatives d’une équation fx = 0. Pour avoir la limite inférieure des racines positives de/x — 0 ,
on remplace x par - ; si fx admet un facteur (x — a)n, la trans-
formée contiendra le facteur ^ a ) ou ( 1 oy)", ou encore
