LIVRE IV

seront în-

(y — ^n; ainsi toutes les racines de la transformée

verses de celles de la proposée. Dans la transformée, soit l la limite supérieure des racines positives, on aura pour les valeurs

Il 1

positives de d’où et x^>- ; ainsi les valeurs positives

de x seront au-dessus de c’est-à-dire, que ^ sera la limite

inférieure des racines positives.

Soit lequalion Sx* — 3x3 — 8x’-|-28x-|-32 = 0;

posant x = -, on a — 1 (-32 = 0;

Chassant les dénominateurs et intervertissant

Cette équation se décompose en

ou

En faisant ou y=-, on rend le premier membre positif.

Donc 2 est une limite inférieure des valeurs positives de x. Nommant t la valeur absolue du dernier terme d’une équation x”1-)- etc., =0 , k celle du plus grand coefficient de signe contraire au dernier terme, on démontre que ^ ^ est une limite

inférieure des racines positives; mais celte détermination donne toujours un nombre moindre que 1 , tandis que dans l’exemple ci-dessus on a trouvé une limite plus grande que 1, ce qui est souvent très-important.

Pour avoir les limites des racines négatives de/r = 0, on pose x = — x'; les racines positives de la transformée auront les mêmes valeurs absolues que les racines négatives de la proposée.

Soient donc L1 et i les limites des racines positives de l’équalion

Auront.

en x* ; — L' et — - seront celles des racines négatives de/x = 0.

Exemple. L’équation 2x5 — 7x* — 8.r3H-9jr’H-54ar — 85 = 0. Changeant x en — x' (p. 25, c. 6), on a

En réunissant le premier et le troisième terme, puis le second et le quatrième, on a

La limite sera ✓4 ou 2.

Pour avoir la limite inférieure de l’équation en x’, on rem-

place x' par - , ce qui donne

pu

La limite supérieure, trouvée par décomposition, est j/

v \ ou = > la limite inférieure de x' est donc 2.

Ainsi les limites des racines négatives de l’équation proposée sont — 2 et — 2 , de sorte qu’elle n’a pas de racines négatives.

Remarque. Une équation qui ne renferme que des puissances paires de l’inconnue, ne change pas si l’on remplace x par — x;

par conséquent, si L et ^ sont les limites de ses racines positives ,

— L et — y seront celles des racines négatives,

Dans une pareille équation, les racines sont deux à deux égales et de signes contraires; car si a est une racine de fx — 0, l’équation/^— x) admet la racine — a; mais /( — x) = 0 est identique avec/x = 0, puisque l’équation ne change pas, si l’on remplace x par — x; donc fx — 0 admet aussi la racine — a. Cela posé> fx sera divisible par (x — a) (x-f-a) ou par x’ — a’, et comme