LIVRE IV. 5ç

fx ne renferme que des puissances paires de x , il en sera de

fjc fjc

même du quotient — — — : ainsi — = 0 aura aussi deux

racines égales et de signes contraires, et ainsi de suite.

Réciproquement une équation qui a ses racines deux à deux égales et désignés contraires, ne renferme que des puissances paires de x. Car soient x = ±.a, x = ±:b, etc., les racines de l’équation. Son premier membre sera le produit des facteurs.

{x — a) (.r-|-a) ( x — b) (x-+-b) etc. ~(x‘ — a’) (x' — b‘) etc., et ce produit ne renferme que des puissances paires de x.

Définition 16. Il y a variation entre deux termes consécutifs d’un polynôme, si ces deux termes sont de signes contraires. Ainsi une variation est la succession de deux signes contraires. Une permanence est une succession de deux signes semblables. Dans un polynôme complet du degré m par rapport à la lettre d’ordre , il y a m-f-1 termes; chaque terme, à partir du second, inclusivement, détermine une succession de signes avec le précédent, de sorte qu’il y a m successions de signes dans le polynôme.

Définition 17. Deux termes sont dits de même parité , s’ils sont tous les deux de degré pair, ou tous les deux de degré impair. Deux termes sont dits de parité- différente, si l’un est de degré pair, l’autre de degré impair.

PROPOSITION XXX. — THÉORÈME

Une équation ( complète ou non ) n’a pas plus de racines positives que de variations ; et si deux termes consécutifs quelconques sont de parité différente, l’équation n’a pas plus de racines négatives que de permanences. (Règle des signes de Descartes.)

Pour prouver la première partie de cette proposition, on va démontrer que si l’on introduit une racine positive dans une équation, la transformée aura au moins une variation de plus que la proposée.

ALGEBRE.

Soit fx — 0, une équation, a un nombre positif, je dis que (.r — à)fx aura au moins une variation de plus que/ir.

Le premier terme de fx est xm , qui est positif; à la suite de xm il peut y avoir des termes positifs, dont le nombre peut être nul; représentons par+Ax*, le dernier de ces termes, le terme suivant étant négatif et représenté par — k'xx~' ; A peut d’ailleurs être nul.

À la suite de — h!x*~ ' il peut y avoir une série de termes négatifs, dont nous représenterons le.dernier par — lix1; le premier des termes suivants sera positif et représenté par ', etc.

Ainsi soit.rra-|-... + Ax* — \'x*~' — etc '+...

l’expression de fx; chaque lacune ne répondant qu’à des permanences; avant Lrx il y a tant de séries de permanences qu’on voudra, ce terme est le dernier d’une série de permanences positives ou négatives ; il est suivi d’une série de termes tous négatifs ou tous positifs. Faisons le produit defx par x — a.

.rm-t-...-+-A.r *— A'x*~ ' — ...— B.r 3-+-B'je'/8 '-K.±Lt X4-L'^k— '

■rm-+-'-|-... — A'

IjrJ».... =pL'

• • -f-Ba

-t-Lrt

±Ma.

Le premier terme xm+l est positif.

Le terme en x* a son coefficient essentiellement négatif. Car de deux choses l’une ou fx ne contient que des termes positifs , et alors A', B. . .. sont tous nuis et A ne l’est pas, comme étant le dernier terme de fx ; donc dans ce cas le dernier terme de ( x—a)fx est — A axx; il est négatif, tandis que le premier *m+’ est positif; ainsi [x — afx a au moins une variation ; fx n’en ayant pas, le produit en a au moins une de plus qu e fx. Si fx n’est pas composé de termes tous positifs , A peut être nul; mais A' ne l’est pas, et le coefficient de x* , dans le produit, est encore négatif; ainsi de a7m+l à #*, le produit a au moins une variation ; mais de xm à x*~ ' ,fx n’en a qu’une.

Le terme en a:3 est essentiellement positif, comme le terme