LIVRE IV

+ B'x.s 1 de Jx; or, de x*~' à x*—', fx ne contient qu’une variation; de x* à xt le produit en a au moins une.

On reconnaîtra de même qu’à chaque variation defx, il en répond au moins une dans (a: — a)/x, jusques et y compris celle qui est déterminée par x'~' dans fx, et par x* dans le produit; or à la suite de xx~' , fx n’a plus que des permanences, tandis que le produit, ayant son dernier terme Ma de signe contraire au terme en x* , contient encore une variation à laquelle il n’en répond aucune dans/x. Donc ( x — apfx a au moins une variation de plus que/jr.

Cela posé, soit (px=0 une équation qui n’a point de racines positives; soient a, a3,.. . a„ (hes nombres positifs; (je- — a,)<px contient une variation de plus que (px; (x — a,) ( x — a,)<px, contient une variation de plus que (x—a,)(px et ainsi de suite; donc

(l) ( x — a,) (x— a,) .... (x — a„).(px = 0

contient au moins n variations de plus que (px , c’est-à-dire qu’il en contient au moins n. Mais cette équation n’a pas plus de n racines positives. Donc enfin une équation n’a pas plus de racines positives que son premier membre n’a de variations.

En second lieu, soit un polynôme Yx, complet ou non, mais dans lequel deux termes consécutifs quelconques sont de parité différente. Je dis que l’équation F.rzz 0 n’a pas plus de racines ■ négatives qu’elle n’a de permanences.

En effet, remplace* x par — x' ; les racines changeront toutes de signe, de sorte que si F.r=:0 a k racines positives, F(— #')=:0 aura k racines négatives ; mais puisque dans F# deux termes consécutifs quelconques sont de parité différente, si l’on remplace x par — il est évident aussi que, de deux termes consécutifs , il y en a toujours un seul qui change de signe; si donc dans F.r on "considère deux termes consécutifs de même signe, dans F( — x ') les termes correspondants seront de signe contraire, et réciproquement, c’est-à-dire que les permanences de Fa: se sont changées en variations et les variations en permanences. Or, F( — x1) — 0 ayant k racines positives, aura au moins k variations; donc F.r=:0 a au moins k permanences, c’est-à-dirc au moins autant de permanences que de racines négatives.

algUbre.

Remarque 1. Si dans Fx=0 deux termes consécutifs quelconques ne sont pas de parité différente , le changement de x en — x' ne transforme ni toutes les permanences en vacations, ni toutes les variations en permanences. Et en effet la seconde partie du théorème n’est pas vraie pour ces sortes d’équation. C’est ainsi que l’équation x’ — 1=0, qui n’a point de permanence, ne laisse pas d’avoir une racine négative.

Remarque 2. On peut supposer que l’équation ne renferme pas de puissance de x comme facteur à tous les termes, et c’est ce qu’on supposera en effet dans ce qui suit.

Remarque 3. D’un terme pogilif à un terme négatif il y a toujours un nombre impair de variations. Car une variation conduit d’un terme à un autre de signe contraire; si cette première variation est suivie d’une seconde, on retombe sur le signe du premier terme; ainsi 2, et en général un nombre pair de variations, ramènent au premier signe; une variation nouvelle donnera un signe contraire. Par conséquent, dans le produit d efx par x — a, produit effectué ci-dessus, il peut se faire que de x"+' à x* il y ait un nombre impair de variations, c’est-à-dire, un nombre pair de plus qu efx n’en contient depuis xm à x*-'. En continuant ce raisonnement, on reconnaîtra que jusqu’à x' ' le produit contient un nombre pair ou nul de variations de plus que fx ; mais de x ' à la fin, ce produit contient encore un nombre impair de variations de plus que/x; donc (x — à) fx contient un nombre impair de variations de plus que/x. II en est de même des permanences, si fx , et ( x — a) fx satisfont à la condition prescrite dans l’énoncé de la proposition 30.

Le produit (ar’-f-x’-l-Sx-j-ô) (x — 2) = x'< — xM-x* — x — 10 contient trois variations de plus que le multiplicande.

Le polynôme (x’-t-x+l) est incomplet; les deux premiers termes sont de même parité; aussi, en multipliant par x-(-l , obtient-on un produit qui renferme deux permanences de plus que le multiplicande, tandis que x3 — x'-+-3x — 4 multiplié par x-f-2, donne un produit contenant trois permanences de plus que le polynôme multiplicande.

Toutes les fois que celle circonstance se présente, on peut conclure que l’équation proposée a des racines imaginaires; si