LIVRE IV

(a.-— a) fx — 0 a <2k-\-\ variations de plus que fx, l’équation fx = Q a au moins 2 k racines imaginaires. C’est ce qui peut se démontrer.

PROPOSITION XXXI. — THÉORÈME

Une équation a au moins 2n racines imaginaires 1* toutes les fois qu’entre deux termes successifs il en manque 2n ; 2° toutes les fois qu’entre deux termes successifs de même signe il en manque 2n — l , ou qu’entre deux termes successifs de signes contraires il en manque 2n-|-l.

1° Si entre deux termes successifs il en manque un nombre pair 2n, c’est que ces deux termes sont de parité différente. Car soit Ax% le premier de ces termes, le suivant doit être séparé de celui-là par 2 « termes; donc ce terme suivant est le 2n-f-le à la suite de Ax*; or, le premier à la suite de Ax * est A,x*~', le second À,®*-’ ... le 2/H-l*, Bx*—’0-' ; mais a et a — 2 n — 1 sont de parité différente ; car si a est pair, a — 2n — 1 est impair et réciproquement. Cela posé, s’il manque d’autres termes dans l’équation, supposons les autres termes rétablis avec le coefficient -|-0; soit V le nombre total des variations, P le nombre des permanences qui ont lieu après ce rétablissement; comme le polynôme premier membre de notre équation est incomplet , V-)-P n’est pas égal au degré de l’équation, c’est V-|-P-t-2/i qui l’est. Car puisqu’il y a V-f-P successions de signes, le nombre des termes est V— 1— P— |— 1 5 en y ajoutant le nombre des termes manquants, on voit que V-|-P-|-2re-f-l serait le nombre total des termes, si l’équation était complète; donc V-fP-f2n est le degré de l’équation , ou le nombre des racines. Mais l’équation proposée, satisfaisant aux conditions de l’énoncé de la proposition précédente, n’a pas plus de V racines positives ni plus de P racines négatives; ainsi elle n’a pas plus de V-f-P racines réelles; donc elle a au moins 2 n racines imaginaires.

2° Supposons qu’entre deux termes successifs de môme signe il en manque 2n — 1; ces deux termes seront de la forme -f-Aa^-f-Ifr*-1" , et seront de même parité; rétablissons le pre-

micr terme à la suite de x * avec le coefficient —0, de sorte que cette partie de l’équation devient

-f-Ax*— 0x*— -+-Bx*-a°.

Suppopons aussi qu’on ait rétabli les termes qui peuvent manquer avant A.r* et après Bx*— in; soit V le nombre des variations, P le nombre des permanences que présente l’équation ainsi modifiée; comme il y a encore 2 n — 2 termes manquants, le nombre des racines est V-|-P-+-2n — 2; cette équation, dans laquelle deux termes consécutifs quelconques sont de parité différente, a au plus P racines négatives; mais si l’on omet le terme — 0x*~‘ , l’équation aura deux variations de moins; donc elle en aura V— 2, et on pourra conclure qu’elle n’a pas plus de V — 2 racines positives. Donc elle n’a pas plus de V-4-P — 2 racines réelles, et comme elle a V+P — 2+2 n racines, ella a au moins 2n racines imaginaires.

Enfin, si entre deux termes successifs de signes contraires +Àx* — Bx‘*■-’n-,, il en manque 2n+l, rétablissons le terme -f-0x“— ainsi que ceux qui peuvent manquer avant Ax" et après Bx“~,n— J; soit V le nombre des variations, P le nombre des permanences de l’équation ainsi modifiée. Comme il manque encore 2 n termes, le nombre total des racines est V+P-j-2/i. Or, ici encore deux termes consécutifs quelconques sont de parité différente ; donc l’équation n’a pas plus de V racines positives, pas plus de P racines négatives, et au moins 2 n racines imaginaires.

Pour montrer comment ces raisonnements généraux s’appliquent à la fois, soit l’équation

x'^lx10— 4x5+2x+l = 0.

Cette équation n’ayant que deux variations, n’a pas plus de deux racines positives. Pour pouvoir y appliquer la seconde partie du théorème de Descartes, il faut rétablir un terme entre x'4 et et x'°, et un autre entre x5 et x, afin qu’il n’y ait jamais de suite deux termes de même parité; on a ainsi

x'4 — 0 . xl3+7 .x,u 4x'1— -0.x4+2x+l =0.