I.IVRE IV
Soit l’équation x'< — 45*’ — 40^r— f— 84 = 0.
On la met sous la forme
x^-j-Ox1 — 45x’ — 40^r— f— 84 = 0.
Les limites sont 8 et — 7 ; les diviseurs à essayer 7, 6, 4,3,2,
On trouve que 1 est racine; il ne l’est qu’une fois; 2,3, 4 , G , ne sont pas racines; 7 l’est; le quotient x +8j+12 =0 donne en 01111*6 x — — 2 , x — — 6.
PROPOSITION XXXVI. — THÉORÈME
Pour qu’un diviseur du dernier terme d’une équation fx = 0 , à coefficients entiers, soit racine , il faut que , ajouté à — 1 , il divise fl, et que, ajouté à + 1, il divise f( — 1). (Règle d’exclusion).
En effet , soit a une racine entière defx = 0;fx est divisible par x — a, et comme les coefficients de fx sont des nombres entiers, ceux du quotient seront aussi entiers (p. 9). Soit (px ce quotient, on aura l’identité
fx — (x—d)(px^
Faisant x = 1 , on a
f \ =(t— a)tpi = — (pl . (n— 1)
algèbre.
(pi étant un nombre entier ainsi que fl , il s’ensuit que fl est divisible par a— 1 qui est aussi un nombre entier.
Dans la même identité faites x — 1 , il vient
Donc si a est racine, a — 1 divise/l et a-f-1 divise f( l).
Corollaire. Cette propriété sert à diminuer quelquefois le nombre des diviseurs à essayer. Tout autre nombre que t fournit une règle analogue.
Exemple. xs — 17.r',-f-53.rî-|-233.r’ 1278a?-f-1440 = O.
Les limites sont 17 et —6; les diviseurs à essayer
16, 16, 12, 10,9,8,6,6,4,3,2,1, -1, -2, -3, -4, —fi.
D’ailleurs /I =432; ainsi 1 n’est pas racine.
Parmi les diviseurs autres que 1 et — 1 , il n’y a que
qui, ajoutés à — 1 , divisent/l ; on va les comparer à/(— l).
Or,/(— 1) = — 2880. Tous ces diviseurs restants, excepté 10 , peuvent être essayés; car, ajoutés à +1 , ils divisent /( — 1).
En les essayant, on trouve # = 2, # = 3, x~b, et pour trouver les deux racines restantes,
d’oîi
PROPOSITION XXXVU. — THÉORÈME.
Une équation , qui a tous ses coefficients entiers et pour premier coefficient l’unité > n’a aucune racine commensurable fractionnaire.
Soit l’équation xm-\-pxm-'-+- ... +pra,aH-pm = 0 , dans laquelle p,,p„...]> m sont entiers. Supposons que la fraction irréductible ^ puisse être une racine de l’équation , a et b étant entiers.
