LIVRE IV

On aurait

am am~' a

' Chassant les dénominateurs, et transposant, on a

am ■=. — p,am~'b — p,am~ ‘‘b’1 — . . . pax—,abm~ ' — pmb'".

Or, le second membre est divisible par b ; donc nm devrait l’être, ce qui ne se peut, puisque b est premier avec a, cl par

suite avec am. Donc - ne saurait être racine. b

Corollaire. Ainsi pour qu’une équation à coefficients entiers puisse avoir des racines commcnsurables fractionnaires , il faut que le coefficient du premier terme soit plus grand que 1. On peut former a posteriori de pareilles équations. Du reste, l’absurdité à laquelle on a été conduit ci-dessus, disparait si l’on suppose xm et par suite am affecté d’un coefficient À ; car dans ce cas on a

A am = —plam-'b— p„fm ,

et’ il suffit de supposer que b est un diviseur de A, pour qu’il n’y ait plus d’impossibilité.

PROPOSITION XXXVIII. — PROBLÈME

Trouver les racines comrnensurables fractionnaires d’une équation à coefficients cornmensurables.

Pour que l’équation ait de pareilles racines, il faut que, débarrassée de ses dénominateurs, elle ait au premier terme un coefficient autre que l’unité. Or, une équation de cette espèce peut toujours être transformée en une autre du même degré, et dont les racines cornmensurables sont entières; et à cet effet il suffit de montrer qu’on peut la transformer en une autre dont le premier coefficient est l’unité, tandis que les autres sont entiers. Or, soit l’équation

\x™-\-\lxm (— \,xm~ (— ... — |— Am — ,x-f-Am — 0,

où les coefficients sont tous entiers. Posons x = -r, x' étant une

4 10 ALGEBRE.

nouvelle inconnue, d une indéterminée : l'équation devient

et si l’on fait ici d = A, on aura

■ ... +Am, • -7 — (-Am — 0.

Am— Am~‘ Am~2 ou xlm-{-k -f-AA,JG,m-H- . . . +Am-ÏAU1 ,x'4-Am— Am = 0 ;

équation qui remplit les conditions exigées.

Si l’on trouve x' — a, x! — b ... on aura x — T, x— —, etc.

Car on a et 0 = A , ou x-~^-

Ainsi il n’y a qu’à chercher les racines entières de l’équation en x1 , et on aura toutes les racines commensurables de la proposée.

Remarque. II y a des cas où l’on peut faire cette transformation en nombres plus simples. A cet effet, il faut diviser la proposée par A, simplifier chaque coefficient fractionnaire, et déterminer d comme on va le montrer sur un exemple.

Soit l’équation 2250x3 — 5625jc’-{-1 7 SOx-t-l 44 =0.

On divise par 2250 et l’on simplifie, ce qui donne

Maintenant on fait æ=— , et l’on multiplie par d1; on a ô *

Ôd2#’2 7d2

Pour que— soit entier, il faut et il suffit que d soi t divisible par 2 ;

pour que — soit entier, il faut et il suffit que d2 soit divisible

par 9 ou d par 3; enfin, pour que— ^ s0*1 entier, il faut et il