LIVRE IV
On trouve un exemple du premier cas dans l’équation x — 3 2ar — 1 aH-12
x{x — 1 ) (x-t- 1 ) (x — 1) (jr — | — 1 ) (x — 2) x(x, — 2)(ar+2)
Le dénominateur commun le plus simple est ■*(•*— t) (aH-1 ).(*—' 2) (jî— (— 2) , et l’équation devient
( x — 3) (x% — 4) -f- (2x — 1 ) ( æ-(-2) +— (je— f— 1 2) (x’ — 1)=0
Le numérateur, ainsi que le dénominateur, est annulé par x — 0; la substitution dearzzO., dans l’équation proposée donne
2+ir~ ’
ce qui n’apprend rien; il faudra donc recourir au problème d’où cette équation dépend, et examiner si # = 0 , peut en être une solution.
Du reste, on pourra quelquefois reconnaître cela en substituant une pareille valeur de x dans l’équation. Car ou le facteur x — a qui y répond ne se trouve qu’à un dénominateur, ou il se trouve à plusieurs. S’il ne se trouve qu’à un seul dénominateur, . fx ,
soit - — - — — — la fraction ; apres qu on aura réduit au même
dénominateur, les numérateurs de toutes les autres fractions auront été multipliés par x—a, et le numérateur définitif sera de la forme
Il ne sera donc annulé par x — a que si fx l’est, puisque M
qui est un produit de certains facteurs des autres dénominateurs
ne l’est pas. Or, s\fx était annulé, la substitution de x—a dans
. . . fx 0
I équation proposée, changerait la fraction — en-, et
l’équation deviendrait
- ± etc. = 0 ,
ALGEBRE.
d’où l’on ne peut rien conclure. Que si fx n’est pas annulé, le A;
terme *' ----- devient oo , et les autres restant finis, l’équation
(x—aff.x
ne sera pas satisfaite.
Enfin si x — a se trouve à plusieurs dénominateurs, plusieurs termes de l’équation deviendront infinis , ce qui n’apprend rien.
Pour qu’une fraction comme devienne nulle il ne faut pas
(px
précisément que son numérateur le devienne: il suffit encore que son dénominateur devienne infini sans que le numérateur le soit. Comme cela ne peut jamais arriver que par des valeurs infinies de x , on fait ordinairement abstraction de ces solutions. Cependant nous ferons observer que x=ac annule en effet toute fraction dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur. Car soit
oxm — bxm~ ' — |— .... -J— U a’xm+» b'xm+°-
divisant les deux termes par i“,ona
x xm
aV’ + éV—
xm
Si l’on fait x — oo , le numérateur se réduit à a et le dénominateur à la valeur que prend a'x°-\-b'x"- c’est-à-dire à oo . La fraction devient donc 0.
Remarquons enfin 1“ que si l’on multiplie une équation fx=0 par un facteur (px, la nouvelle équation fxXcpxïzO contient comme étrangères à la première, toutes les racines de (px = 0; 2° que si dans fx = 0 , fx se décompose en facteurs tels que /, x .fx .fx on pourra , au lieu de la proposée, résoudre les équations plus simples fx=.0,fx=0, fx=z 0 , dont les racines conviennent toutes à la proposée. Par conséquent il ne faut jamais supprimer dans une équation des (acteurs fonctions de x, sans en tenir compte, ni en introduire sans rejeter les racines qui en proviennent.
