LITRE IV

PROPOSITION XXXIX. — THÉORÈME

Si une équation fx = 0 admet a racines égales à a , toutes les dérivées, depuis fx jusqu’à celle de l’ordre a — 1 inclusivement sont annulées par x = a , et réciproquement.

Car on aura fx = ( x — a)*<px, (px étant entier par rapport à x , et si l’on pose x = a-\-y , il vient

/(«-hr) = r“- sp(a+r);

donc /(<M-y) doit être divisible par y*.

Mais /(«-hr)

=fa+rf a~^~ • • • ■+

et pour que ce polynôme soit divisible par y* , il faut que les termes qui contiennent y à des puissances inférieures à celle-là, soient nuis. Donc on a

fa — 0 , f'a — 0 , fa = 0 , . . f*~'a — 0.

Donc x — a annule les dérivées d e fx jusqu’à f*~'x inclusivement.

Réciproquement si fa, fa, fa .... f*~'a sont nulles, f{a-\-yj est divisible par y*, et de la forme f (a-fy) = y*yjy; remplaçant y par x-~a, on a

fx — ( x — a)*tp(x — a ) ,

donc fx — 0 admet a racines égales à a, c’est-à-dire autant de racines égales à a qu’il y a d’unité\dans l’ordre de/“a , première dérivée qui ne s’annule pas. Il ne peut d’ailleurs y avoir plus de a racines égales à a, sans quoi/*a serait nul.

Corollaire 1. Ainsi toutes les fois que fx a des racines égales, fx et/ x qui sont annulés par une même valeur de x , ont un diviseur commun (prop. 9).

Corollaire 2. 1° Si a est un nombre pair de fois racine de

y»— .f*~'a 1 y*f aa ymf"'a

ALGÈBRE

fx=0, i un infiniment petit, /(a— i) et /(a-H' ) seront de même signe.

Car si a est 2 n fois racine, fa , fa , fa... f‘a~ 'a sont nulles, et f"a ne l’est pas.

Donc f(a — i) = + ^ . f"a ± , etc. ,

/(«+0 = + t ; fYn • * etc* ^p‘ 2')

Or, iétant infiniment petit, c’est le premier terme qui détermine le signe du développement (p. 6).

Donc /(«—/) et /(«-+- i) sont de même signe; et ce signe est celui de f°a.

Si a n’était pas racine du tout, f[a — i) , /(«-H) auraient pour premier terme commun fa, et seraient de même signe que fa.

2° Si a est un nombre impair de fois racine, on reconnaîtra de même que/(a — i) et f (a-f-i) sont de signes contraires, et le dernier est du signe de la première des dérivées que a n’annule pas.

PROPOSITION XL. — THÉORÈME

Si fx a des facteurs multiples, le plus grand commun diviseur de fx et f' x est le produit des facteurs qui sont répétés, élevés chacun à une puissance moindre d’une unité que dans fx.

En effet si fx — (x — afepx, c’est que fa , fa, . . . f*~'a sont nulles; donc f'x et ses dérivées fx, .. fx~'x sont annulées par x — a; mais f*x, qui n’est pas annulée, est la dérivée de l’ordre a — 1 d efx; donc f'x admet a — 1 facteurs égaux à x — a ; ainsi/1 x est divisible par (.r — a)*- '. De même, si/r admet les facteurs (x—b)&, {x—cf ..., fx admettra (x— i)8-' , (x—cf-'i donc fx est divisible par le produit

Ce produit est le plus grand commun diviseur entre fx et fx;