LIVRE IV

car les facteurs x — a , x—b . .. , ne se trouvent dans f'x qu’aux

puissances a — 1, fi — 1, , et si des faeteurs tels que

x—ci, x—b', ne sont qu’à la première puissance dans fx , aucun d’eux ne saurait diviser/1#, sans quoi il serait dans fx au moins à la seconde puissance. *

Corollaire 1. Pour reconnaître si une équation a des racines égales , il suffit donc de chercher le plus grand commun diviseur entre son premier membre et la première dérivée ; s’il y a un commun diviseur, il y a aussi des racines égales, et réciproquement.

Le degré du plus grand commun diviseur fera connaître combien il y a dans fx de facteurs premiers différents : le nombre de ces facteurs est exactement égal au degré defx, diminué du degré du plus grand commun diviseur. Car si

fx— (x — a)*(x — bŸ(x — cfr (x — b') ( x — c') ...

Le plus grand commun diviseur est

(x — «) 1 (x — b)&~fx — c)5'- ‘ .

Le degré defx étant

ni = a-j-fi+y+- ... — f— 1 — 1— lH— 1— |— ..., celui du plus grand commun diviseur k =z a— 1-+-/9— l-t-y —

On voit qu’on déduit k de m , en retranchant une unité de l’exposant a, fi , y ... 1 , 1 , 1 de chaque facteur distinct

(#— a)*, (x — b)a , . . . (x— a1) , (# — b’),...., de façon que si n est le nombre de ces facteurs , on a

rn — nzzk, d’où n~m — k.

Corollaire 2. Si une équation n’a pas de racines égales, et qu’on cherche le plus grand commun diviseur de fx et f'x, on arrivera à' un reste indépendant de x , qui ne sera pas nul. Or, dans ce cas, deux restes consécutifs quelconques sont premiers entre eux : car le plus grand commun diviseur defx et f'x est le même que celui de deux pareils restes. Donc il ne pourra

ALGEBRE.

jamais arriver, dans ce cas, qu’une même valeur de x annule deux restes cogsécutifs; car si x = a produisant ce résultat, x — a diviserait à la fois ces deux restes, ce qui ne se peut.

PROPOSITION XLI. — TIIÉORÈME.

Toute équation fx = 0 , qui a des racines égales peut se ramener à d’autres équations plus simples. (Méthode des racines égales.)

Soient a,, b,, c, ... les racines simples d’une équation, et posons ( x — a,) (x — b,) [x — c,) . . . =: X, ; ce facteur se trouvera à la première puissance dans fx.

Soient a, , 4,, ... les racines doubles, posons

(x— a,) (x—bt) ... =X,;

ce facteur se trouvera à la seconde puissance dans/x.

etc.

Soient bn ... les racines qui entrent le plus de fois dans /:r = 0; posons ( x — a„ ) {x— b„) ... = X„ et supposons que X„ entre à la puissance « dans fx , de sorte que

fx ~ xx’x| . . . X° 1 x".

Le plus grand commun diviseur de fx et fx contient les facteurs multiples à une puissance moindre d’une unité que^ir,nommons/,* ce plus grand commun diviseur; on aura

fx=XX,X,...X X .

Soit fx le plus grand commun diviseur de fx et de sa dérivée; par le même principe, on aura

fx = X3X

De même plus grand commun diviseur, entre f et sa dérivée sera . ,

fx=X4 ... X„,- X„ ,

etc.

Continuant à chercher le plus grand commun diviseur entre