LIVRE IV

chaque diviseur trouvé et sa dérivée, on arrivera, en conservant les mêmes notations, à

/„,#= X„,XD* fnx — Xn.

Ici se terminera cette série d’opérations; car X„ n’ayant que des facteurs simples ( # — «„) (# — b„) ..., n’a pas de diviseur commun avec sa dérivée; c’est donc là le caractère auquel on reconnaît qu’il faut arrêter les opérations. Le dernier diviseur trouvé sera X„, ou le produit des facteurs qui ont le degré de multiplicité le plus élevé, et ce degré est égal à l’indice de /„#, ou bien au nombre des communs diviseurs cherchés, augmenté d’une unité.

Actuellement on divisera chacune des fonctions/#,/,# ... par la suivante; soient Q,, Q, ... les quotients; il vient

Ç-=Q, = X,X,X3 ... Xn,X„ /,#

J~=Q%= X,X} ... Xn,X„

JiX

ajoutant /„# = Xn ,

on divisera chacun de ces quotients par le suivant, ce qui donne

on connaîtra donc les facteurs X, , X, .. . , et on pourra former . les équations

X, — 0 , X, — 0 , X.i — 0 , . • • X„ — , — 0 , Xn — 0 ,

dont la première donne les racines simples, la deuxième les racines doubles , la troisième les racines triples, etc.

ALGivBRK.

Si l’une ou l’autre de ces fonctions X,, X, ... se réduit à un nombre, on en conclura que les racines au degré de multiplicité correspondant manquent dans/r = 0.

Du reste on. peut varier cette méthode; ainsi , conservant les mêmes notations, après avoir cherché le plus grand commun diviseur de fx et f'x, lequel est

on divise fx par fx, et l’on a un quotient Q, =X.X1X3...Xn.

On cherehe le plus grand commun diviseur entre Q, et fx;

il est

(px — X,Xj ... X„

Enfin on divise Q, par px , et l’on a = X,. Si l’on égale

à zéro X, , on aura les racines simples; l’équation (px — 0 donnera les racines multiples, chacune une seule fois. Cela posé, si les racines de cpx = 0 peuvent se trouver exactement , on pourra en déterminer le degré de multiplicité comme on va le voir: soit aa une racine qui entre a fois dans/r — 0, elle ferapartie de l’équation X^zzO, et le facteur Xa se trouvera a — 1 fois dans fx; donc a j est a — 1 fois racine de fx — 0 ; on substituera donc dans les dérivées de fx et l’ordre de la première des dérivées f^Xyf'^x ... qui ne sera pas annulé, sera a — 1. Donc a sera connu.

Si les racines de (px— 0 ne peuvent pas être déterminées exactement, on remarquera que X, est le produit des facteurs simples d efx; on opère donc sur fx comme on a fait sur fx, et on trouvera X, comme on a trouvé X, , et ainsi de suite.

Exemple.

fx~

x'7-(-x" — x'J — 6. r8 — 5^— 4x,’-t-xr’-+-9x'>-h8x3-i-12x,-h4x-h4=0. fx — xf' — 3.x1 — 2.

11 a donc dans fx six facteurs distincts, (p. 40 , c.)