LIVRE IV

fcc

Ensuite ^ — = x’-\-xrj — x 3 — 3x‘ — 2# — 2 = Q,.

Le plus grand commun diviseur de/,# et Q, , est

(px = x'* — x* — 2 = O,

et — = X, = — 0.

( px

La première de ces deux équations , (px — 0 , donne les racines multiples, la seconde X, = 0 , les racines simples.

L’équation (px = 0 peut se résoudre, puisqu’elle est réductible au second degré; on en tire

Ainsi #’ = 2 et x'' — — 1 , d’où x — ±1/2 et x — ±\^ — 1.

Pour reconnaître le degré de multiplicité de ces racines , on prend la dérivée de (px , laquelle est 6x‘ — 6#,

on peut faire abstraction du facteur 6.r qui n’est annulé par aucune de nos racines; il reste x'1 — 1 qui n’est annulé ni par

x — -f- P7 2 , ni par x — — ^2. Ainsi a — 1 = 1, « = 2 , et chacune de ces racinés est double; en comptant les deux racines de X, = 0, voilà déjà six racines. Mais x> — 1 est annulé par

x —±v- — 1; donc chacune de ces racines est au moins triple, mais comme il ne nous reste que six racines à chercher, nous conclurons que ces racines ne sont en effet que triples.

Donc fx =. .

Même exemple :

On a fx ■=.

1 — xo— 6#8— 5x’— 4#6-+ # 2#’+4.r-|-4

fiX — x?' — 3#’ — 2

fix — ,

ALüliBKE.

ce dernier polynôme n’ayant pas de commun diviseur avec sa dérivée, on en conclut qu efx est de la forme X,Xa’X3 , et que X3=x’-j-l.

Par suite/,# = XJL} .

Actuellement au lieu de suivre la marche générale, on peut abréger ainsi qu’il suit :

On aura X,

X3a — (— 2usa — f—1

Par suite nous avons trois racines égales à — 1 , trois autres égales à — V' — 1 , deux qui sont égales à 2 , et deux à — P^lf. Voilà dix racines connues; il n’en manque que 2. On formera donc l’équation du second degré qui les donne, d’après le c. 7 de la proposition 24; cette équation sera x*-+-x-+-l = 0 , et l’on a les mêmes résultats que par la première méthode.

Remarque. La méthode des racines commensurables (p. 35) étant plus simple que celle des racines égales, on n’applique celleci qu’à des équations débarrassées de leurs racines commensurables, afin de simplifier la recherche des racines incommensurables et des racines imaginaires.

Corollaire. Soit une équation à coefficients commensurables qui n’a point de racines commensurables : si elle a une racine simple , elle en a au moins deux ; si elle a une racine double, elle en a au moins deux; en général si elle a une racine répétée n fois, elle en a au moins une seconde qui se trouve dans le même cas. — En effet, si fx a ses coefficients rationnels, tous les facteurs X, , X,, etc., X„, sont dans le même cas , puisque ces polynômes se déduisent d efx par des multiplications, divisions , etc. , où il n’entre aucun nombre incommensurable. D’après cela il est impossible que l’un de ces polynômes soit du premier degré en x, sans quoi, égalé à zéro, il donnerait pour x une valeur commensurable. Donc si X, , X, ... . X„ sont des fonctions de #, elles sont au moins du second degré : donc, etc.

Si l’on est certain qu’une racine de fx — 0 ne puisse être donnée par une équation rationnelle d’un degré inférieur à un