LIVRE IV

nombre k , on peut affirmer que fx — 0 a au moins k racines du môme degré de multiplicité que celle-là.

D’après cela on reconnaîtra qu’une équation du second , du troisième ou du cinquième degré, à coefficients commensurables, et sans racines commensurables , ne saurait avoir des racines égales.

PROPOSITION XL1I. — THÉORÈME

Soit fx = 0 une équation à coefficients réels ; a , /? , deux nombres réels quelconques ; si fa, f/9 sont de signes contraires , l’équation fx = 0 aura au moins une racine réelle , comprise entre a et fl. .

Supposons /a<^0 et ffif>® ; faisons varier x d’une manière .continue depuis a jusqu’à fl ; fx variera.de même, depuis fa jusqu’à fjl. Il peut se faire que dans cet intervalle fx passe plusieurs fois du négatif au positif, et réciproquement; mais comme il finit par devenir égal à//9 qui est positif, il y aura une dernière série de valeurs négatives qui précèdent fjl. Parmi ces valeurs négatives, il y en aura une qui sera la dernière de toutes : supposons qu’elle réponde à x — a' qui est compris entre a et (l ; parmi les valeurs positives de fx, et dont la dernière est f(l , il y en aura une qui sera la première; supposons qu’elle réponde à x—fl'. D’abord il faut que a! = fH , sans quoi fx n’aurait aucune valeur réelle pour toutes les valeurs de x comprises entre a! et ff , ce qui ne se peut, vu que fx est réel pour toute valeur réelle de x. Donc, en second lieu, il faut que pour cette valeur x — a! — fl' , fx soit à la fois positif et négatif ; mais si fx n’est ni nul, ni infini, pour une valeur donnée de x , il n’a qu’un signe. Donc pour cette valeur x =. a1 — fl' , fx est égal à zéro, qui peut être regardé comme ±0; il est vrai que oo a aussi dans certains cas le signe ±; mais/r ne saurait être infini pour une valeur finie de x. Il est donc démontré que, pour passer du négatif au positif, fx passe au moins une fois par zéro , et cette valeur xz=.a' , comprise entre a et fl, et qui annule jx, est une racine réelle de fx — 0.

ALGÈBRE

Remarque 1. Le raisonnement précédent prouve qu’une fonction ne peut passer du négatif au positif qu’en cessant ■ d’être réelle, ou en devenant nulle, ou en devenant infinie. Donc, de quelque nature que soit fx, irrationnelle, fractionnaire, etc., pourvu qu’entre a et fi elle ne puisse devenir ni imaginaire, ni infinie, le théorème ci-dessus s’y appliquera.

Ce théorème n’est pas vrai pour fx — qui est négatif

pour x — 3 , positif pour x — 5 , mais infini si jc = 4.

Il n’est pas non plus vrai pour fx — x — {x — 2) (x— 6). On a/l<0,/6>0; mais de x = 2 à x-—b , fx est imaginaire.

PROPOSITION XLIII. — THÉORÈME

Si deux nombres a , fi , qui ne sont pas racines d’une équation fx — 0 , comprennent entre eux un nombre impair de racines réelles de cette équation, fa et f fi seront de signes contraires ; si a , fi comprennent un nombre pair de racines, fa, f fi sont de même signe. Réciproquement.

1° Soient a,, a , ... a in+1 des racines réelles en nombre impair, comprises entre a, fi ; ces racines pouvant être toutes différentes ou non. On a

fx — {x—a,) (x — a%) ... (x— a’"+') .(px ;

(px étant le produit des facteurs qui répondent aux racines réelles non comprises entre a et fi, et aux racines imaginaires; parmi les racines réelles qui sont dans ce cas, soient b,, b, ...b-, celles qui sont plus petites que a et fi ; c,, c, ... c„, celles qui sont plus grandes, enfin soit tfix le produit des facteurs imaginaires, lesquels donnent des facteurs du second degré, tels que (x— et sont positifs pour toute valeur réelle de x.

On a donc (px = (x—b,) ... (x — 6;) (x — c ,) ... (x — ca).ipx.

Ou je dis que (pa et (pfi sont de même signe. Car puisque a et fi sont plus grands que toutes les racines de b, » b,, et plus petits que toutes les racines de c, à c„, a — b , , a — b2 ... a — b,