LIVRE IV

sont positifs de même que fi — b, , fi — b2, ..., /3 — b, , tandis que ~a — c, ... a — c„, fi — e, ...fi — ca sont négatifs; xpa, ij/fi sont positifs. Donc cpa et rpji ont leurs facteurs correspondants de même signe, et sont aussi de même signe.

Cela posé, supposons a plus petit (algébriquement) , et fi plus grand que chacune des racines a,, a, .,. ; on aura

fa — (a — a,) ( a—af ) ... (a— a1B+,).ÿ«

JP = Qi-at) (fi -a,) . . . (/?-aJO+1) . <pfi.

Or, a étant moindre que a,, a,... les binômes a— a,,

a — a,, ... a — aan+1 sont négatifs, et puisqu’ils sont en nombre impair, leur produit est négatif, donc fa est de signe contraire à <pa ou à (p(i. Mais fi étant plus grand que a, , a, ... , les binômes — a> » fi — «*, sont positifs, et f{3 sera de même signe que <p/î. Donc/a et ffi sont de signes contraires.

2° Si les racines comprises entre a et (i étaient en nombte pair 2 n, on reconnaîtrait qu e fa, ffi sont de même signe; n peut d’ailleurs être zéro.

Réciproquement si fa et ffi sont de signes contraires , il y a un nombre impair de racines réelles entre a et fi • Car s’il n’y en avait pas , ou s’il y en avait un nombre pair , on vient de prouver que fa, ffi seraient de même signe.

Et si fa, ffi sont de même signe, les racines comprises entre « et fi seront en nombre pair , ou nul , sans quoi fa,f(i seraient de signes contraires.

Remarque 1. Cette proposition est démontrée indépendamment de la prop. 46 , qui se trouve comprise dans celle-ci , dans le cas où fx est une fonction entière de x.

Remarque 2. Les racines égales sont ici traitées comme autant de racines distinctes; car c’est le nombre des facteurs du premier degré en x qui fait la base du raisonnement.

PROPOSITION XLIV. — THÉORÈME

Toute équation de degré impair a une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.

ALGÈBRE

4aG

1° Soit l’équation /#=#“+■ -(-etc.. .. — « = 0, dont le dernier terme est négatif; soit C le module maximum des coefficients; on a /(C-|-1))>0 (p. 3 ),f0 = — k<^0. Donc entre C-)-l et 0 il y a une racine réelle , qui est par conséquent positive (p. 42).

2° Soit -{-«=0, le dernier terme étant po-

sitif. On a/0=«)>0, et /( — C — 1)<^0 (p* 3); donc entre 0 et — 0 — 1 il y a une racine réelle, qui est par suite négative.

Remarque. Ce théorème peut sc conclure de ce que toute fonction entière de x est décomposable en facteurs réels du premier et du second degré , ainsi qu’on a déjà démontré (p. 23, c. 1) que dans une équation de degré impair les racines réelles sont en nombre impair. On reconnaîtra d’ailleurs que si le dernier terme est négatif, les racines réelles positives sont en nombre impair; s’il est positif ce sont les racines réelles négatives qui sont en nombre impair.

PROPOSITION XLV. — THÉORÈME

Dans toute équation de degré pair à dernier terme négatif, il y a au moins une racine réelle positive et une racine réelle négative.

Soit fx=.x™ — «=0 l’équation. Nommons encore C le module maximum des coefficients ; on a

Donc entre C-f-1 et 0 il y a un nombre impair de racines, qui sont positives, et entre 0 et — C — 1 , il y en a un nombre impair , qui sont négatives.

Remarque 1 . Ce théorème peut se déduire de la meme propriété que le précédent.

Remarque 2. Si un polynôme/# ne change pas de signe pendant que x varie de — oo à+oo, ce polynôme est de degré pair; car s’il était de degré impair, — C — 1) serait <^0 et /(C-Hf))>0, en supposant le premier terme positif.

De plus ce polynôme égalé à zéro ne donnera que des racines