LIVRE IV

imaginaires et des racines réelles d’un degré de multiplicité pair. Car si l’équation avait une racine a , d’un degré de multiplicité impair, h étant un infiniment petit a-)-Aet a — h comprendraient un nombre impair de racines , de sorte que f{a-\~h) et f(a — h ) seraient de signes contraires.

Réciproquement si un polynôme de degré pair fx n’admet aucun facteur réel du premier degré , il ne changera pas de signe - pendant que x varie de — 00 à -|- 00 . Car si fa et fft étaient de signes contraires ,fx — 0 aurait au moins une racine réelle entre a et (i , et fx aurait un facteur réel du premier degré, ce qui peut encore se conclure directement de la décomposition en facteurs.

PROPOSITION XLVI. — THÉORÈME. (De M. StLRM.)

Soit fx=0 une équation qui n’a pas de racines égales ; si l'on cherche le plus grand commun diviseur de fx et fx en ayant soin de changer les signes de chaque reste avant de le prendre pour diviseur de la division suivante , on aura une série de restes que nous nommerons — f,x, — f,x, — f3x,.., — fw , et dont le dernier sera indépendant de x. Si dans la série des polynômes

fx, f'x, f.x, f.x.... f*

on substitue successivement deux nombres à, (i, le premier plus petit que le second; je dis que, autant V équation proposée contiendra de racines réelles entre a et {ï , autant la substitution de (S donnera de variations de moins que celle de a, ces variations étant celles que présente la série des valeurs de h, fx, etc.

De sorte que si les résultats fa, fa, fa, fa . . . ./* présentent dans la succession de leurs signes un nombre V de variations, et que les quantilés//3,/'/9,/,/9, /,/?.. en présentent v, l’équation fx — 0 aura V — v racines réelles toutes comprises entre a et (3, en supposant que ni a ni fi ne soient racines.

Pour le prouver, soient q, q,..., q„ . . . . qM-, les quotients : on aura les identités

ALGEBRE.

fx — q.fx—f,x fx=q,f,x—f.x f>x=q,f,x—f3x

CO ./n — iX qafnX —~ifn~^-tX

fu—*x— qu—i f„— \X

Remarquons d’abord que si une valeur x— a annule l’une des fonctions fx,f x. . , cette valeur ne saurait annuler ni la

suivante ni la précédente (p. 40, c. 2).

D’ailleurs si f„a est nul, l’identité fn~,x=:q„fax —fD+,x devient f„,a= — /J+,a et prouve quefn—,x et/„+1a; prennent des signes contraires.

Cela posé dans toutes les fonctions

fx > fx, f,x, . . .fn,x, fx , f^.,x, . . .f„

faisons varier x d’une manière continue depuis a jusqu’à ft. Tant que x , en croissant, n’atteint pas quelque valeur qui annule l’une ou l’autre de ces fonctions, aucune d’elles ne changera désigné; car si entre a et a!, par exemple, il n’existe aucun nombre qui annule/„.r, c’est que fa, fa' seront de même signe (p. 43). Donc dans ce cas , chacune de nos fonctions conservant son signe, ni le nombre ni la distribution des variations ne changeront. Les variations ne peuvent donc subir quelque modification, que lorsque x croissant, arrive à prendre des valeurs qui annulent l’une ou l’autre de ces fonctions.

Or je dis que si x vient à prendre une valeur qui annule une des fonctions intermédiaires f x ,.. f—,x , sans annuler fx luimême, le nombre des variations ne changera pas.

En effet , soit a un nombre entre a et (i , et qui annule fx , soit A un infiniment petit. Puisque x varie d’une manière continue, avant d’arriver à la valeur a, il prendra la valeur a — h, et après a , il prendra la valeur a-{-h. Considérons les valeurs des trois fonctions et

pour x = a— h A), /„(«— A), /„+,(«— A) ,

pour x z=. a , fa = 0, /„+,«,

UVBE IV.

42fj

On a prouve qne f„—,a et /„+,« sont de signes contraires. D’un autre côlé fa—,a n’étant pas nul, il s’ensuit (prop. 38, c. 2) que /„—.(« — A), /,,«, ,(a~t-A) sont de même signe; de

même /„+•(« — A) et /,+,(a-)-A) sont de même signe que/,+,a. Donc dans le tableau ci-dessus , la première colonne offre les mêmes signes , la troisième offre des signes contraires à ceux de la première, de sorte que ces colonnes ont

la 1™ la 3e la i" la 3*

pour x~a — A -f- — ou bien — -f-

Cela posé, quels que soient les signes de la deuxième colonne, pour x — a — h il y a une variation de/,,—, à il y en a

aussi une pour x zz o-f-A, vu qu’il y a dans chaque cas, de /„, à fn+, trois signes dont les extrêmes sont contraires. Donc si x passe par une valeur a qui annule/„.r , cette fonction et les deux voisines présentent, après comme auparavant, une variation. Donc si l’une quelconque des fonctions intermédiaires passe par zéro , cette circonstance à elle seule ne changera pas le nombre des variations ; il en sera donc de même , si plusieurs de ces fonctions intermédiaires s’annulent, soit à la fois, soit successivement. Mais chaque fois qu’une de ces fonctions s’annule, il peut se faire qu’urïe variation change de place , en marchant à gauche ou à droite. Car si pour x zz a — A les trois fonctions /„, ,/„, /„+, , présentent les signes H — f- — , et si/, a changé

de signe en passant par 0, pour x zz a-\-h on a -\ , et la

variation aura marché vers la gauche.

Actuellement je dis que si x passe par une valeur qui annule fx , il disparaîtra une variation.

Soit b cette valeur qui annule fx , h un infiniment petit. Considérons les valeurs

f(b-h) f(b-h), fb — 0 fb, ■

comme A est une racine simple de l’équation fx~0,f(b— h) et /(A+A) sont de signes contraires (p. 38, c. 2); de plus fb est

ALGEBRE.

de même signe qu ef(b-+-h) ( ib ), et puisque fb n’est pas nul, f(b — A) , f b , f (b-{- li) sont de même signe (ib.).

Ainsi la dernière colonne présente le même signe que /(A-f-A) , signe contraire à celui d e/(A — h) , de sorte qu’on a

ou bien — -f- ou -f- —

Dans tous les cas donc avant que x arrive à la valeur b , fx et et/ x offrent une variation qui disparait lorsque x dépasse b. Ainsi chaque fois que x arrive à une racine d efx— 0, il y a une variation qui disparaît; donc on perdra autant de variations qu’il y a de racines réelles de/r == 0, depuis a à fi.

On peut remarquer ici que, immédiatement avant une racine b de fx — 0 , c’est-à-dire pour x = b — h,fx est de signe contraire à fx, tandis que, immédiatement après, pour xzx.b-^-h, fx est de même signe qu efx. Il faut donc concevoir que, pendant que x varie depuis une racine b jusqu’à la suivante b, , les variations qui existent entre fx et/^se déplacent, sans changer de nombre, de manière que l’une d’elles vienne occuper de nouveau la gauche, lorsque x — b, — h, pour y disparaître, lorsque x—b,-\-h. Ainsi les variations viennent successivement refluer vers la gauche pour y disparaître , en nombre égal à celui des racines comprises entre a et fi.

Remarque 1. Rien n’empêche de multiplier ou de diviser fx , fx , fx ... par des nombres positifs, puisque par-là on ne change aucun signe.

Remarque 2. Si a était racine de l’équation , on pourrait diviser fx par x — a, et raisonner sur le quotient. Même remarque pour ji. On pourrait encore remplacer a par a — h, h étant infiniment petit, et chercher les racines comprises entre a — h et (i , ou entre a-\-h et /? , ce qui n’exigerait aucun nouveau calcul ; car /(a — A) est de signe contraire à fa; et f'(a — A) ,f,(a — A), f (a — A) ... sont respectivement de même signe que fa ,f a, fa.... Si f/3 était nul, on prendrait fi — A ou fi + h; /(/S+A) est de même signe que/'/?.